# 定义三角函数

**URL:** <https://meta.appinn.net/t/topic/30318>\
**Category:** 闲聊灌水\
**Tags:** mathematics\
**Created:** [2022 年2 月 24 日 03:46 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318 "2022-02-24T03:46:28Z")\
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作者： ![Septsea](https://meta-edge.appinn.com/user_avatar/meta.appinn.net/septsea/32/58653_2.png) [@Septsea](https://meta.appinn.net/u/Septsea)\
发布日期： [2022 年3 月 8 日 00:53 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/21 "2022-03-08T00:53:47Z")

</div>

固定复数 w 。定义

\begin{aligned} \text{$E\_w$:} \quad \mathbb{R} & \to \mathbb{C}, \\ x & \mapsto \exp {wx} \end{aligned}

现在我们借助 E\_w 研究 \exp 的性质。

(0) E\_w 可微，且 \mathrm{D} E\_w = w E\_w 。

为了论证此事，先写出 E\_w 的幂级数表达：

\begin{aligned} \text{$E\_w$:} \quad \mathbb{R} & \to \mathbb{C}, \\ x & \mapsto \sum\_{n \geq 0} {\frac{w^n}{n!} x^n} \end{aligned}

现在应该很清楚了：对任意实数 x ，

\mathrm{D} E\_w (x) = \sum\_{n \geq 1} {n \frac{w^n}{n!} x^{n-1}} = w \sum\_{n \geq 1} {\frac{w^{n-1}}{(n-1)!} x^{n-1}} = w E\_w (x)

(1) 对任意复数 w ，必有 \exp w \cdot \exp {(-w)} = 1 。

为论证此事，我们借助 E\_w 。不难看到，这就是想让我们论证 E\_w (1) E\_{-w} (1) = 1 ，因此我们可以作函数 f = E\_w \cdot E\_{-w} 。显然 f(0) = 1 。所以，有没有可能， f 是常函数 1 ？我们可以试求 f 的导数：

\mathrm{D} f = \mathrm{D} E\_w \cdot E\_{-w} + E\_w \cdot \mathrm{D} E\_{-w} = (w - w) E\_w E\_{-w} = 0

这么看来， f 必定是常数了。因为 f(0) = 1 ，所以 f(1) 也一定是 1 。

顺便一提，这表明： \exp 一定取不到零值。

(2) 对任意复数 v, w ，必有 \exp {(v + w)} = \exp v \cdot \exp w 。

还是借助 E\_w 。由 (1)，这相当于要论证 \exp {v} \cdot \exp {w} \cdot \exp {(-v - w)} = 1 。因此，作 g = E\_v E\_w E\_{-v - w} 。显然 g(0) = 1 。我们要论证 g(1) = 1 。还是老样子，论证 g 为常函数即可。求导：

\mathrm{D} g = \mathrm{D} (E\_v E\_w) \cdot E\_{-v - w} + (E\_v E\_w) \cdot \mathrm{D} E\_{-v - w}

由此不难验证， \mathrm{D} g = 0 。所以 g 是常函数 1 。

(3) \exp z 的复共轭是 \exp {\overline{z}} （所谓复共轭，就是实部相等，虚部反号）。

此事的论证更简单了，甚至都不需要微分学。设

s\_n (z) = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \cdots + \frac{z^{n-1}}{(n-1)!}

那么 \lim\_{n \to \infty} s\_n (z) 就是 \exp z 。所以 \lim\_{n \to \infty} s\_n (\overline{z}) 当然是 \exp {\overline{z}} 。不过

s\_n (\overline{z}) = \overline{s\_n (z)}

所以

\exp {\overline{z}} = \lim\_{n \to \infty} s\_n (\overline{z}) = \lim\_{n \to \infty} {\overline{s\_n (z)}} = \overline{\lim\_{n \to \infty} s\_n (z)} = \overline{\exp z}

> **You could see the source code here.**
>
> ```markdown
> 固定复数 $w$ 。定义
> $$
> \begin{aligned}
> \text{$E_w$:} \quad
> \mathbb{R} & \to \mathbb{C}, \\
> x & \mapsto \exp {wx}
> \end{aligned}
> $$
> 
> 现在我们借助 $E_w$ 研究 $\exp$ 的性质。
> 
> (0) $E_w$ 可微，且 $\mathrm{D} E_w = w E_w$ 。
> 
> 为了论证此事，先写出 $E_w$ 的幂级数表达：
> $$
> \begin{aligned}
> \text{$E_w$:} \quad
> \mathbb{R} & \to \mathbb{C}, \\
> x & \mapsto \sum_{n \geq 0} {\frac{w^n}{n!} x^n}
> \end{aligned}
> $$
> 现在应该很清楚了：对任意实数 $x$ ，
> $$
> \mathrm{D} E_w (x) = \sum_{n \geq 1} {n \frac{w^n}{n!} x^{n-1}} = w \sum_{n \geq 1} {\frac{w^{n-1}}{(n-1)!} x^{n-1}} = w E_w (x)
> $$
> 
> (1) 对任意复数 $w$ ，必有 $\exp w \cdot \exp {(-w)} = 1$ 。
> 
> 为论证此事，我们借助 $E_w$ 。不难看到，这就是想让我们论证 $E_w (1) E_{-w} (1) = 1$ ，因此我们可以作函数 $f = E_w \cdot E_{-w}$ 。显然 $f(0) = 1$ 。所以，有没有可能， $f$ 是常函数 $1$ ？我们可以试求 $f$ 的导数：
> $$
> \mathrm{D} f = \mathrm{D} E_w \cdot E_{-w} + E_w \cdot \mathrm{D} E_{-w} = (w - w) E_w E_{-w} = 0
> $$
> 这么看来， $f$ 必定是常数了。因为 $f(0) = 1$ ，所以 $f(1)$ 也一定是 $1$ 。
> 
> 顺便一提，这表明： $\exp$ 一定取不到零值。
> 
> (2) 对任意复数 $v$, $w$ ，必有 $\exp {(v + w)} = \exp v \cdot \exp w$ 。
> 
> 还是借助 $E_w$ 。由 (1)，这相当于要论证 $\exp {v} \cdot \exp {w} \cdot \exp {(-v - w)} = 1$ 。因此，作 $g = E_v E_w E_{-v - w}$ 。显然 $g(0) = 1$ 。我们要论证 $g(1) = 1$ 。还是老样子，论证 $g$ 为常函数即可。求导：
> $$
> \mathrm{D} g = \mathrm{D} (E_v E_w) \cdot E_{-v - w} + (E_v E_w) \cdot \mathrm{D} E_{-v - w}
> $$
> 由此不难验证， $\mathrm{D} g = 0$ 。所以 $g$ 是常函数 $1$ 。
> 
> (3) $\exp z$ 的复共轭是 $\exp {\overline{z}}$ （所谓复共轭，就是实部相等，虚部反号）。
> 
> 此事的论证更简单了，甚至都不需要微分学。设
> $$
> s_n (z) = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \cdots + \frac{z^{n-1}}{(n-1)!}
> $$
> 那么 $\lim_{n \to \infty} s_n (z)$ 就是 $\exp z$ 。所以 $\lim_{n \to \infty} s_n (\overline{z})$ 当然是 $\exp {\overline{z}}$ 。不过
> $$
> s_n (\overline{z}) = \overline{s_n (z)}
> $$
> 所以
> $$
> \exp {\overline{z}} = \lim_{n \to \infty} s_n (\overline{z}) = \lim_{n \to \infty} {\overline{s_n (z)}} = \overline{\lim_{n \to \infty} s_n (z)} = \overline{\exp z}
> $$
> 
> ```

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作者： ![Septsea](https://meta-edge.appinn.com/user_avatar/meta.appinn.net/septsea/32/58653_2.png) [@Septsea](https://meta.appinn.net/u/Septsea)\
发布日期： [2022 年3 月 8 日 01:00 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/22 "2022-03-08T01:00:36Z")

</div>

请大家注意：我们还没说 \exp 的导数是什么。事实上，因为 \exp 是复变函数，而我不假定大家会复变函数的可微性或导数，所以就不谈了（我们也不需要讨论这个）。不过，若定义

\begin{aligned} \text{$E$:} \quad \mathbb{R} & \to \mathbb{R}, \\ x & \mapsto \exp {x} \end{aligned}

那我们可以说， E 的导数是 E 。（给大家留下一个小问题：为什么 x 是实数时 E(x) 也是实数？提示：用刚才证明过的一个性质。）

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发布日期： [2022 年3 月 8 日 01:02 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/23 "2022-03-08T01:02:09Z")

</div>

请大家消化一下这些知识——因为我也想休息一会儿了。

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发布日期： [2022 年3 月 8 日 04:12 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/24 "2022-03-08T04:12:59Z")

</div>

后面这块还没太消化完，有点跟不上

> [@Septsea](#):
>
> 为什么 x 是实数时 E(x) 也是实数？

E(x) =\sum\_{n \geqslant 0} {\frac{x^n}{n!}} 

若 x \in \mathbb{R}

则 E(x) 用的是数乘和实数的加法，也是实数

所以有

\begin{aligned} \text{$E$:} \quad \mathbb{R} & \to \mathbb{R}, \\ x & \mapsto \sum\_{n \geqslant 0} {\frac{x^n}{n!}} = E(x). \end{aligned} 

是这个意思吗？

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发布日期： [2022 年3 月 8 日 04:15 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/25 "2022-03-08T04:15:43Z")

</div>

不懂的可以直接问。

* * *

嗯，可以这么看。其实呢，高观点地看，可以这样：

E(x) = \exp {x} = \exp {\overline{x}} = \overline{\exp x} = \overline{E(x)}

\exp 的共轭性质在后面也会用到。

“因为幂级数的系数全是实数，故变元为实数时函数值也是实数”也是很重要的。这个，主要看个人的口味吧。

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发布日期： [2022 年3 月 8 日 04:47 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/26 "2022-03-08T04:47:25Z")

</div>

理解了，

由共轭性质

E\left( \bar{x} \right) =\overline{E\left( x \right) }

由 x 是实数

E\left( \bar{x} \right) =E\left( x \right) 

所以

\overline{E\left( x \right) }=E\left( x \right) 

若一个数的复共轭是它自身，则它是实数

---

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发布日期： [2022 年3 月 8 日 04:47 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/27 "2022-03-08T04:47:51Z")

</div>

Exactly.

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发布日期： [2022 年3 月 8 日 05:52 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/28 "2022-03-08T05:52:46Z")

</div>

现在我们正式定义 \cos 跟 \sin 。我们怎么定义呢？一个好想法是，希望新定义 \cos 跟 \sin 仍适合 Euler 公式，且 \cos 还是偶函数， \sin 还是奇函数。具体地说，设 x 为任意实数，则

\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} = \cos x + \mathrm{i} \sin x

替换 x 为 -x ，并利用奇偶性，有

\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x} = \cos x - \mathrm{i} \sin x

由此可见，我们定义的 \cos 跟 \sin 应该适合

\cos x = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2}, \quad \sin x = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2\mathrm{i}}

这引出如下定义。

* * *

设 x 为实数。定义

\begin{aligned} \text{$\cos$:} \quad \mathbb{R} & \to \mathbb{R}, \\ x & \mapsto \frac{\exp {\mathrm{i}x} + \exp {(-\mathrm{i}x)}}{2}, \\ \text{$\sin$:} \quad \mathbb{R} & \to \mathbb{R}, \\ x & \mapsto \frac{\exp {\mathrm{i}x} - \exp {(-\mathrm{i}x)}}{2\mathrm{i}} \end{aligned}

其中 \exp 是我们已定义的“复指数函数”。

小问题：请大家思考，为什么 x 是实数时 \cos x 跟 \sin x 都是实数。

> **You could see the source code here.**
>
> ```markdown
> 现在我们正式定义 $\cos$ 跟 $\sin$ 。我们怎么定义呢？一个好想法是，希望新定义 $\cos$ 跟 $\sin$ 仍适合 Euler 公式，且 $\cos$ 还是偶函数， $\sin$ 还是奇函数。具体地说，设 $x$ 为任意实数，则
> $$
> \mathrm{e}^{\mathrm{i} x} = \cos x + \mathrm{i} \sin x
> $$
> 替换 $x$ 为 $-x$ ，并利用奇偶性，有
> $$
> \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x} = \cos x - \mathrm{i} \sin x
> $$
> 由此可见，我们定义的 $\cos$ 跟 $\sin$ 应该适合
> $$
> \cos x = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2}, \quad \sin x = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2\mathrm{i}}
> $$
> 这引出如下定义。
> 
> ---
> 
> 设 $x$ 为实数。定义
> $$
> \begin{aligned}
> \text{$\cos$:} \quad
> \mathbb{R} & \to \mathbb{R}, \\
> x & \mapsto \frac{\exp {\mathrm{i}x} + \exp {(-\mathrm{i}x)}}{2}, \\
> \text{$\sin$:} \quad
> \mathbb{R} & \to \mathbb{R}, \\
> x & \mapsto \frac{\exp {\mathrm{i}x} - \exp {(-\mathrm{i}x)}}{2\mathrm{i}}
> \end{aligned}
> $$
> 其中 $\exp$ 是我们已定义的“复指数函数”。
> 
> 小问题：请大家思考，为什么 $x$ 是实数时 $\cos x$ 跟 $\sin x$ 都是实数。
> 
> ```

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<div class="post-metadata">

作者： ![Septsea](https://meta-edge.appinn.com/user_avatar/meta.appinn.net/septsea/32/58653_2.png) [@Septsea](https://meta.appinn.net/u/Septsea)\
发布日期： [2022 年3 月 8 日 06:06 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/29 "2022-03-08T06:06:34Z")

</div>

现在，我再准备几个简单的小问题，让大家熟悉 \cos 跟 \sin 。

以下， x 都是实数。（我们不考虑复变元的三角函数；得对等大家熟悉复变函数论如微积分那样时才能方便地讨论此事。）

0. 试证： \cos 0 = 1 ，且 \sin 0 = 0 。

1. 试证： \cos x = \cos {(-x)} ，且 \sin x = -\sin {(-x)} 。

2. 试证： \exp {\mathrm{i}x} = \cos x + \mathrm{i} \sin x ，且 \exp {(-\mathrm{i}x)} = \cos x - \mathrm{i} \sin x 。

3. 试证： \cos^2 + \sin^2 是常函数。（提示：考虑问题 2，再利用 \exp 的性质。）

4. 试证： \mathrm{D} \cos = -\sin ，且 \mathrm{D} \sin = \cos 。（提示：利用前面的 E\_w 的性质。）

或许大家能体会到，用指数函数 \exp 研究这些问题是相当方便的。

> **You could see the source code here.**
>
> ```markdown
> 现在，我再准备几个简单的小问题，让大家熟悉 $\cos$ 跟 $\sin$ 。
> 
> 以下， $x$ 都是实数。（我们不考虑复变元的三角函数；得对等大家熟悉复变函数论如微积分那样时才能方便地讨论此事。）
> 
> 0\. 试证： $\cos 0 = 1$ ，且 $\sin 0 = 0$ 。
> 
> 1\. 试证： $\cos x = \cos {(-x)}$ ，且 $\sin x = -\sin {(-x)}$ 。
> 
> 2\. 试证： $\exp {\mathrm{i}x} = \cos x + \mathrm{i} \sin x$ ，且 $\exp {(-\mathrm{i}x)} = \cos x - \mathrm{i} \sin x$ 。
> 
> 3\. 试证： $\cos^2 + \sin^2$ 是常函数。（提示：考虑问题 2，再利用 $\exp$ 的性质。）
> 
> 4\. 试证： $\mathrm{D} \cos = -\sin$ ，且 $\mathrm{D} \sin = \cos$ 。（提示：利用前面的 $E_w$ 的性质。）
> 
> 或许大家能体会到，用指数函数 $\exp$ 研究这些问题是相当方便的。
> 
> ```

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<div class="post-metadata">

作者： ![Septsea](https://meta-edge.appinn.com/user_avatar/meta.appinn.net/septsea/32/58653_2.png) [@Septsea](https://meta.appinn.net/u/Septsea)\
发布日期： [2022 年3 月 8 日 06:11 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/30 "2022-03-08T06:11:00Z")

</div>

设函数 f: A \to B ，其中 A, B 都是 \mathbb{C} 的子集，且 0 \in B 。若 a \in A 使 f(a) = 0 ，则说 a 是 f 的一个根。

* * *

现在我们要指出 \cos 的一个非常重要的性质—— \cos 有 **最小的正根** 。

为此，我们需要 7 个不等式。不过，幸运地，这些不等式很有规律。

以下，设 P 为全体 **非负实数** 作成的集。

先从最简单的开始。

**不等式 0** ：对任意非负实数 x ，有 \cos x \leq 1 。

证：因为

\cos x \leq |\cos x| = \sqrt{\cos^2 x} \leq \sqrt{\cos^2 x + \sin^2 x} = 1

下面的不等式都是前一个的推论。我们反复使用了微分学里导数的符号与函数的增减的关系。

**不等式 1** ：对任意非负实数 x ，有 \sin x \leq x 。

证：设

\begin{aligned} \text{$f$:} \quad P & \to \mathbb{R}, \\ x & \mapsto x - \sin x \end{aligned}

从而 f(0) = 0 ，且 \mathrm{D} f(x) = 1 - \cos x \geq 0 （不等式 0）。所以 f 是增函数。

**不等式 2** ：对任意非负实数 x ，有 \cos x \geq 1 - \frac{x^2}{2} 。

证：设

\begin{aligned} \text{$f$:} \quad P & \to \mathbb{R}, \\ x & \mapsto \cos x - 1 + \frac{x^2}{2} \end{aligned}

从而 f(0) = 0 ，且 \mathrm{D} f(x) = x - \sin x \geq 0 （不等式 1）。所以 f 是增函数。

**不等式 3** ：对任意非负实数 x ，有 \sin x \geq x - \frac{x^3}{6} 。

证：设

\begin{aligned} \text{$f$:} \quad P & \to \mathbb{R}, \\ x & \mapsto \sin x - x + \frac{x^3}{6} \end{aligned}

从而 f(0) = 0 ，且 \mathrm{D} f(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2} \geq 0 （不等式 2）。所以 f 是增函数。

**不等式 4** ：对任意非负实数 x ，有 \cos x \leq 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} 。

证：设

\begin{aligned} \text{$f$:} \quad P & \to \mathbb{R}, \\ x & \mapsto 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cos x \end{aligned}

从而 f(0) = 0 ，且 \mathrm{D} f(x) = \sin x - x + \frac{x^3}{6} \geq 0 （不等式 3）。所以 f 是增函数。

**不等式 5** ：对任意非负实数 x ，有 \sin x \leq x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} 。

证：设

\begin{aligned} \text{$f$:} \quad P & \to \mathbb{R}, \\ x & \mapsto x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \sin x \end{aligned}

从而 f(0) = 0 ，且 \mathrm{D} f(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cos x \geq 0 （不等式 4）。所以 f 是增函数。

**不等式 6** ：对任意非负实数 x ，有 \cos x \geq 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} 。

证：设

\begin{aligned} \text{$f$:} \quad P & \to \mathbb{R}, \\ x & \mapsto \cos x - 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} \end{aligned}

从而 f(0) = 0 ，且 \mathrm{D} f(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \sin x \geq 0 （不等式 5）。所以 f 是增函数。

* * *

好。现在我们总算可以说明， \cos 有最小的正根了。

首先说明 \cos **有** 正根。很简单。首先，既然 \cos 可微，那 \cos 必连续。其次，由不等式 6 可知，

\cos {\frac{3}{2}} \geq 1 - \frac{(3/2)^2}{2} + \frac{(3/2)^4}{24} - \frac{(3/2)^6}{720} = \frac{359}{5\,120} \> 0

由不等式 4 可知

\cos {\frac{8}{5}} \leq 1 - \frac{(8/5)^2}{2} + \frac{(8/5)^4}{24} = -\frac{13}{1\,875} \< 0

所以， \cos 在开区间 (1.5, 1.6) 内 **至少有一个** 根。当然了， \cos 肯定也在 [0, 2] 上 **至少有一个** 根。

然后说明 \cos 有 **最小正根** 。由不等式 3，当 0 \< x \< \sqrt{6} 时，

\sin x \geq x - \frac{x^3}{6} = \frac{x}{6}(6 - x^2) \> 0

因为 \mathrm{D} \cos = -\sin ，故 \cos 在 [0, 2] 上（严格）递减。这样， \cos 在 [0, 2] 里 **至多有一个** 根。

综上即得结论。

* * *

现在我们定义算学的一个相当重要的常数 2\pi （注意，这里 2\pi 是整体记号，是一个文字！）。设 \varphi 是 \cos 的最小正根。定义 2\pi 为 \varphi 的 4 倍。

根据上面的讨论，我们知道， 2\pi 比 6 大，但比 6.4 小。（其实，后面的不等式只是尽可能精确地指出 2\pi 在哪儿罢了。若读者不关心 2\pi 的整数部分，那么读者可用不等式 2 与 4 得出 4 \< 2\pi \< 8 。若读者想尽可能挖掘不等式 6 的价值，读者可用其得到 \cos {1.55} \> 0 ，从而得到 6.2 \< 2\pi \< 6.4 。）

> **You could see the source code here.**
>
> ```markdown
> 设函数 $f$: $A \to B$ ，其中 $A$, $B$ 都是 $\mathbb{C}$ 的子集，且 $0 \in B$ 。若 $a \in A$ 使 $f(a) = 0$ ，则说 $a$ 是 $f$ 的一个根。
> 
> ---
> 
> 现在我们要指出 $\cos$ 的一个非常重要的性质—— $\cos$ 有 **最小的正根** 。
> 
> 为此，我们需要 7 个不等式。不过，幸运地，这些不等式很有规律。
> 
> 以下，设 $P$ 为全体 **非负实数** 作成的集。
> 
> 先从最简单的开始。
> 
> **不等式 0** ：对任意非负实数 $x$ ，有 $\cos x \leq 1$ 。
> 
> 证：因为
> $$
> \cos x \leq |\cos x| = \sqrt{\cos^2 x} \leq \sqrt{\cos^2 x + \sin^2 x} = 1
> $$
> 
> 下面的不等式都是前一个的推论。我们反复使用了微分学里导数的符号与函数的增减的关系。
> 
> **不等式 1** ：对任意非负实数 $x$ ，有 $\sin x \leq x$ 。
> 
> 证：设
> $$
> \begin{aligned}
> \text{$f$:} \quad
> P & \to \mathbb{R}, \\
> x & \mapsto x - \sin x
> \end{aligned}
> $$
> 从而 $f(0) = 0$ ，且 $\mathrm{D} f(x) = 1 - \cos x \geq 0$ （不等式 0）。所以 $f$ 是增函数。
> 
> **不等式 2** ：对任意非负实数 $x$ ，有 $\cos x \geq 1 - \frac{x^2}{2}$ 。
> 
> 证：设
> $$
> \begin{aligned}
> \text{$f$:} \quad
> P & \to \mathbb{R}, \\
> x & \mapsto \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}
> \end{aligned}
> $$
> 从而 $f(0) = 0$ ，且 $\mathrm{D} f(x) = x - \sin x \geq 0$ （不等式 1）。所以 $f$ 是增函数。
> 
> **不等式 3** ：对任意非负实数 $x$ ，有 $\sin x \geq x - \frac{x^3}{6}$ 。
> 
> 证：设
> $$
> \begin{aligned}
> \text{$f$:} \quad
> P & \to \mathbb{R}, \\
> x & \mapsto \sin x - x + \frac{x^3}{6}
> \end{aligned}
> $$
> 从而 $f(0) = 0$ ，且 $\mathrm{D} f(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2} \geq 0$ （不等式 2）。所以 $f$ 是增函数。
> 
> **不等式 4** ：对任意非负实数 $x$ ，有 $\cos x \leq 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ 。
> 
> 证：设
> $$
> \begin{aligned}
> \text{$f$:} \quad
> P & \to \mathbb{R}, \\
> x & \mapsto 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cos x
> \end{aligned}
> $$
> 从而 $f(0) = 0$ ，且 $\mathrm{D} f(x) = \sin x - x + \frac{x^3}{6} \geq 0$ （不等式 3）。所以 $f$ 是增函数。
> 
> **不等式 5** ：对任意非负实数 $x$ ，有 $\sin x \leq x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$ 。
> 
> 证：设
> $$
> \begin{aligned}
> \text{$f$:} \quad
> P & \to \mathbb{R}, \\
> x & \mapsto x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \sin x
> \end{aligned}
> $$
> 从而 $f(0) = 0$ ，且 $\mathrm{D} f(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cos x \geq 0$ （不等式 4）。所以 $f$ 是增函数。
> 
> **不等式 6** ：对任意非负实数 $x$ ，有 $\cos x \geq 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720}$ 。
> 
> 证：设
> $$
> \begin{aligned}
> \text{$f$:} \quad
> P & \to \mathbb{R}, \\
> x & \mapsto \cos x - 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720}
> \end{aligned}
> $$
> 从而 $f(0) = 0$ ，且 $\mathrm{D} f(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \sin x \geq 0$ （不等式 5）。所以 $f$ 是增函数。
> 
> ---
> 
> 好。现在我们总算可以说明， $\cos$ 有最小的正根了。
> 
> 首先说明 $\cos$ **有** 正根。很简单。首先，既然 $\cos$ 可微，那 $\cos$ 必连续。其次，由不等式 6 可知，
> $$
> \cos {\frac{3}{2}} \geq 1 - \frac{(3/2)^2}{2} + \frac{(3/2)^4}{24} - \frac{(3/2)^6}{720} = \frac{359}{5\,120} > 0
> $$
> 由不等式 4 可知
> $$
> \cos {\frac{8}{5}} \leq 1 - \frac{(8/5)^2}{2} + \frac{(8/5)^4}{24} = -\frac{13}{1\,875} < 0
> $$
> 所以， $\cos$ 在开区间 $(1.5, 1.6)$ 内 **至少有一个** 根。当然了， $\cos$ 肯定也在 $[0, 2]$ 上 **至少有一个** 根。
> 
> 然后说明 $\cos$ 有 **最小正根** 。由不等式 3，当 $0 < x < \sqrt{6}$ 时，
> $$
> \sin x \geq x - \frac{x^3}{6} = \frac{x}{6}(6 - x^2) > 0
> $$
> 因为 $\mathrm{D} \cos = -\sin$ ，故 $\cos$ 在 $[0, 2]$ 上（严格）递减。这样， $\cos$ 在 $[0, 2]$ 里 **至多有一个** 根。
> 
> 综上即得结论。
> 
> ---
> 
> 现在我们定义算学的一个相当重要的常数 $2\pi$ （注意，这里 $2\pi$ 是整体记号，是一个文字！）。设 $\varphi$ 是 $\cos$ 的最小正根。定义 $2\pi$ 为 $\varphi$ 的 $4$ 倍。
> 
> 根据上面的讨论，我们知道， $2\pi$ 比 $6$ 大，但比 $6.4$ 小。（其实，后面的不等式只是尽可能精确地指出 $2\pi$ 在哪儿罢了。若读者不关心 $2\pi$ 的整数部分，那么读者可用不等式 2 与 4 得出 $4 < 2\pi < 8$ 。若读者想尽可能挖掘不等式 6 的价值，读者可用其得到 $\cos {1.55} > 0$ ，从而得到 $6.2 < 2\pi < 6.4$ 。）
> 
> ```

---

<div class="post-metadata">

作者： ![Septsea](https://meta-edge.appinn.com/user_avatar/meta.appinn.net/septsea/32/58653_2.png) [@Septsea](https://meta.appinn.net/u/Septsea)\
发布日期： [2022 年3 月 8 日 06:12 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/31 "2022-03-08T06:12:50Z")

</div>

好了。今日我就暂且展示这么多吧。大家好好品味、消化。

---

<div class="post-metadata">

作者： ![DavidJoy](https://meta-edge.appinn.com/user_avatar/meta.appinn.net/davidjoy/32/58244_2.png) [@DavidJoy](https://meta.appinn.net/u/DavidJoy)\
发布日期： [2022 年3 月 8 日 07:44 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/32 "2022-03-08T07:44:17Z")

</div>

> [@Septsea](#):
>
> 为什么 x 是实数时 \cos x 跟 \sin x 都是实数。

\overline{\sin \left( x \right) }=\frac{\exp\mathrm{(}-\mathrm{i}x)-\exp\mathrm{i}x}{-2\mathrm{i}}=\frac{\exp\mathrm{i}x-\exp\mathrm{(}-\mathrm{i}x)}{2\mathrm{i}}=\sin \left( x \right) 

\overline{\cos \left( x \right) }=\frac{\exp\mathrm{(}-\mathrm{i}x)+\exp\mathrm{i}x}{2}=\cos \left( x \right) 

* * *

> [@Septsea](#):
>
> 0. 试证： \cos 0 = 1 ，且 \sin 0 = 0 。

\cos \left( 0 \right) =\frac{\exp 0+\exp 0}{2}=\frac{1}{0!}=1 \\ \sin \left( 0 \right) =\frac{\exp 0-\exp 0}{2\mathrm{i}}=0

> [@Septsea](#):
>
> 1. 试证： \cos x = \cos {(-x)} ，且 \sin x = -\sin {(-x)} 。

\cos \left( -x \right) =\frac{\exp\mathrm{i}x+\exp\mathrm{(}-\mathrm{i}x)}{2}=\cos \left( x \right) \\ \sin \left( -x \right) =\frac{-\exp\mathrm{i}x+\exp\mathrm{(}-\mathrm{i}x)}{2\mathrm{i}}=-\sin \left( x \right) 

> [@Septsea](#):
>
> 2. 试证： \exp {\mathrm{i}x} = \cos x + \mathrm{i} \sin x ，且 \exp {(-\mathrm{i}x)} = \cos x - \mathrm{i} \sin x 。

\cos \left( x \right) +\mathrm{i}\sin \left( x \right) =\frac{\exp\mathrm{i}x+\exp\mathrm{(}-\mathrm{i}x)}{2}+\frac{\exp\mathrm{i}x-\exp\mathrm{(}-\mathrm{i}x)}{2}=\exp\mathrm{i}x \\ \cos \left( x \right) -\mathrm{i}\sin \left( x \right) =\frac{\exp\mathrm{i}x+\exp\mathrm{(}-\mathrm{i}x)}{2}-\frac{\exp\mathrm{i}x-\exp\mathrm{(}-\mathrm{i}x)}{2}=\exp\mathrm{(}-\mathrm{i}x)

> [@Septsea](#):
>
> 3. 试证： \cos^2 + \sin^2 是常函数。  
> 4. 试证： \mathrm{D} \cos = -\sin ，且 \mathrm{D} \sin = \cos 。

\mathrm{D}\left( \sin ^2\left( x \right) +\cos ^2\left( x \right) \right) =2\sin \left( x \right) \mathrm{D}\left( \sin x \right) +2\cos \left( x \right) \mathrm{D}\left( \cos x \right) \\ =2\sin \left( x \right) \frac{\mathrm{i}\cdot \exp\mathrm{i}x+\mathrm{i}\cdot \exp\mathrm{(}-\mathrm{i}x)}{2\mathrm{i}}+2\cos \left( x \right) \frac{\mathrm{i}\cdot \exp\mathrm{i}x-\mathrm{i}\cdot \exp\mathrm{(}-\mathrm{i}x)}{2} \\ =2\sin \left( x \right) \cos \left( x \right) -2\sin \left( x \right) \cos \left( x \right) =0

* * *

不等式晚上再看了

 ![image](https://meta.appinn.net/uploads/default/original/3X/6/a/6ac7bc5e8e8b7fd3382ec1356375faa9a8b64917.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

作者： ![Septsea](https://meta-edge.appinn.com/user_avatar/meta.appinn.net/septsea/32/58653_2.png) [@Septsea](https://meta.appinn.net/u/Septsea)\
发布日期： [2022 年3 月 8 日 08:14 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/33 "2022-03-08T08:14:42Z")

</div>

不错！不过问题 3 可以秒。注意到 \exp {\mathrm{i} x} \cdot \exp {(-\mathrm{i} x)} = 1 。

---

<div class="post-metadata">

作者： ![Septsea](https://meta-edge.appinn.com/user_avatar/meta.appinn.net/septsea/32/58653_2.png) [@Septsea](https://meta.appinn.net/u/Septsea)\
发布日期： [2022 年3 月 9 日 04:38 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/34 "2022-03-09T04:38:37Z")

</div>

继续。

我们已经知道， \cos 有最小的正根 2\pi/4 。换句话说，就是： 0 \< x \< 2\pi/4 时， \cos x \neq 0 。由于 \cos 是连续函数，且 \cos 0 = 1 ，故这意味着 0 \< x \< 2\pi/4 时， \cos x \> 0 。因为 \mathrm{D} \sin = \cos ，这意味着 0 \leq x \leq 2\pi/4 时， \sin 是（严格）递增的。利用这些情报，我们可以算出

\sin {\frac{2\pi}{4}} = \bigg| \sin {\frac{2\pi}{4}} \bigg| = \sqrt{\sin^2 {\frac{2\pi}{4}}} = \sqrt{1 - \cos^2 {\frac{2\pi}{4}}} = 1

从而

\begin{aligned} \exp {\frac{2\pi \mathrm{i}}{4}} &= \cos {\frac{2\pi}{4}} + \mathrm{i} \sin {\frac{2\pi}{4}} = \mathrm{i}, \\ \exp {\frac{2\pi \mathrm{i}}{2}} &= \exp^2 {\frac{2\pi \mathrm{i}}{4}} = -1, \\ \exp {2\pi \mathrm{i}} &= \exp^2 {\frac{2\pi \mathrm{i}}{2}} = 1 \end{aligned}

也就是说，对任意复数 z ，

\exp {(z + 2\pi \mathrm{i})} = \exp {z} \cdot \exp {2\pi\mathrm{i}} = \exp z

特别地，对任意实数 x ，

\begin{array}{rcrcl}\displaystyle \exp {(x\mathrm{i} + 2\pi)} & = & \cos {(x + 2\pi)} & + & \mathrm{i} \sin {(x + 2\pi)}, \\ \exp {x\mathrm{i}} & = & \cos {x} & + & \mathrm{i} \sin {x} \end{array}

由此可知，对任意实数 x ，

\cos {(x + 2\pi)} = \cos {x}, \quad \sin {(x + 2\pi)} = \sin {x}

也就是说， 2\pi 是 \cos 与 \sin 的 **一个周期** 。自然而然地，我们会问： \cos 或 \sin 还有没有更小的（正）周期？也就是说：

> 是否存在小于 2\pi 的 **正数** T ，使对 **任意** 实数 x ，必有
> 
> \cos {(x + T)} = \cos {x} \,?

> 是否存在小于 2\pi 的 **正数** S ，使对 **任意** 实数 x ，必有
> 
> \sin {(x + S)} = \sin {x} \,?

我们暂时还无法回答这个问题，因为我们对 \cos 或 \sin 的了解还不够深。我们还要继续积累一些跟 \cos, \sin, \exp 相关的性质。

> **You could see the source code here.**
>
> ```markdown
> 继续。
> 
> 我们已经知道， $\cos$ 有最小的正根 $2\pi/4$ 。换句话说，就是： $0 < x < 2\pi/4$ 时， $\cos x \neq 0$ 。由于 $\cos$ 是连续函数，且 $\cos 0 = 1$ ，故这意味着 $0 < x < 2\pi/4$ 时， $\cos x > 0$ 。因为 $\mathrm{D} \sin = \cos$ ，这意味着 $0 \leq x \leq 2\pi/4$ 时， $\sin$ 是（严格）递增的。利用这些情报，我们可以算出
> $$
> \sin {\frac{2\pi}{4}} = \bigg| \sin {\frac{2\pi}{4}} \bigg| = \sqrt{\sin^2 {\frac{2\pi}{4}}} = \sqrt{1 - \cos^2 {\frac{2\pi}{4}}} = 1
> $$
> 从而
> $$
> \begin{aligned}
> \exp {\frac{2\pi \mathrm{i}}{4}} &= \cos {\frac{2\pi}{4}} + \mathrm{i} \sin {\frac{2\pi}{4}} = \mathrm{i}, \\
> \exp {\frac{2\pi \mathrm{i}}{2}} &= \exp^2 {\frac{2\pi \mathrm{i}}{4}} = -1, \\
> \exp {2\pi \mathrm{i}} &= \exp^2 {\frac{2\pi \mathrm{i}}{2}} = 1
> \end{aligned}
> $$
> 也就是说，对任意复数 $z$ ，
> $$
> \exp {(z + 2\pi \mathrm{i})} = \exp {z} \cdot \exp {2\pi\mathrm{i}} = \exp z
> $$
> 特别地，对任意实数 $x$ ，
> $$
> \begin{array}{rcrcl}\displaystyle
> \exp {(x\mathrm{i} + 2\pi)} & = & \cos {(x + 2\pi)} & + & \mathrm{i} \sin {(x + 2\pi)}, \\
> \exp {x\mathrm{i}} & = & \cos {x} & + & \mathrm{i} \sin {x}
> \end{array}
> $$
> 由此可知，对任意实数 $x$ ，
> $$
> \cos {(x + 2\pi)} = \cos {x}, \quad \sin {(x + 2\pi)} = \sin {x}
> $$
> 也就是说， $2\pi$ 是 $\cos$ 与 $\sin$ 的 **一个周期** 。自然而然地，我们会问： $\cos$ 或 $\sin$ 还有没有更小的（正）周期？也就是说：
> 
> > 是否存在小于 $2\pi$ 的 **正数** $T$ ，使对 **任意** 实数 $x$ ，必有
> > $$
> \cos {(x + T)} = \cos {x} \,?
> > $$
> 
> > 是否存在小于 $2\pi$ 的 **正数** $S$ ，使对 **任意** 实数 $x$ ，必有
> > $$
> \sin {(x + S)} = \sin {x} \,?
> > $$
> 
> 我们暂时还无法回答这个问题，因为我们对 $\cos$ 或 $\sin$ 的了解还不够深。我们还要继续积累一些跟 $\cos$, $\sin$, $\exp$ 相关的性质。
> 
> ```

---

<div class="post-metadata">

作者： ![Septsea](https://meta-edge.appinn.com/user_avatar/meta.appinn.net/septsea/32/58653_2.png) [@Septsea](https://meta.appinn.net/u/Septsea)\
发布日期： [2022 年3 月 9 日 04:57 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/35 "2022-03-09T04:57:47Z")

</div>

对任意实数 x ， \sin {(x + 2\pi/4)} = \cos x ，且 \cos {(x + 2\pi/4)} = -\sin x 。

此事的论证不难。因为

\begin{aligned} & \cos {\bigg(x + \frac{2\pi}{4} \bigg)} + \mathrm{i} \sin {\bigg(x + \frac{2\pi}{4} \bigg)} \\ = {} & \exp {\bigg(x + \frac{2\pi}{4} \bigg) \mathrm{i}} \\ = {} & \exp {x\mathrm{i}} \cdot \exp {\frac{2\pi \mathrm{i}}{4}} \\ = {} & \mathrm{i} (\cos x + \mathrm{i} \sin x) \\ = {} & -\sin x + \mathrm{i} \cos x \end{aligned}

这件事告诉我们什么呢？这告诉我们，若存在实数 T ，使对任意实数 x ，必有 \cos {(x + T)} = \cos x ，则

\begin{aligned} \sin {(x + T)} = {} & \sin {\bigg( x - \frac{2\pi}{4} + T + \frac{2\pi}{4} \bigg)} \\ = {} & \cos {\bigg( x - \frac{2\pi}{4} + T \bigg)} \\ = {} & \cos {\bigg( x - \frac{2\pi}{4} \bigg)} \\ = {} & \sin {\bigg( x - \frac{2\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} \bigg)} \\ = {} & \sin {x} \end{aligned}

同理，若存在实数 S ，使对任意实数 x ，必有 \sin {(x + S)} = \sin x ，则 \cos {(x + S)} = \cos x 。这说明， \cos 跟 \sin 共享一套周期。

> **You could see the source code here.**
>
> ```markdown
> 对任意实数 $x$ ， $\sin {(x + 2\pi/4)} = \cos x$ ，且 $\cos {(x + 2\pi/4)} = -\sin x$ 。
> 
> 此事的论证不难。因为
> $$
> \begin{aligned}
> & \cos {\bigg(x + \frac{2\pi}{4} \bigg)} + \mathrm{i} \sin {\bigg(x + \frac{2\pi}{4} \bigg)} \\
> = {} & \exp {\bigg(x + \frac{2\pi}{4} \bigg) \mathrm{i}} \\
> = {} & \exp {x\mathrm{i}} \cdot \exp {\frac{2\pi \mathrm{i}}{4}} \\
> = {} & \mathrm{i} (\cos x + \mathrm{i} \sin x) \\
> = {} & -\sin x + \mathrm{i} \cos x
> \end{aligned}
> $$
> 
> 这件事告诉我们什么呢？这告诉我们，若存在实数 $T$ ，使对任意实数 $x$ ，必有 $\cos {(x + T)} = \cos x$ ，则
> $$
> \begin{aligned}
> \sin {(x + T)}
> = {} & \sin {\bigg( x - \frac{2\pi}{4} + T + \frac{2\pi}{4} \bigg)} \\
> = {} & \cos {\bigg( x - \frac{2\pi}{4} + T \bigg)} \\
> = {} & \cos {\bigg( x - \frac{2\pi}{4} \bigg)} \\
> = {} & \sin {\bigg( x - \frac{2\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} \bigg)} \\
> = {} & \sin {x}
> \end{aligned}
> $$
> 同理，若存在实数 $S$ ，使对任意实数 $x$ ，必有 $\sin {(x + S)} = \sin x$ ，则 $\cos {(x + S)} = \cos x$ 。这说明， $\cos$ 跟 $\sin$ 共享一套周期。
> 
> ```

---

<div class="post-metadata">

作者： ![Septsea](https://meta-edge.appinn.com/user_avatar/meta.appinn.net/septsea/32/58653_2.png) [@Septsea](https://meta.appinn.net/u/Septsea)\
发布日期： [2022 年3 月 9 日 05:03 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/36 "2022-03-09T05:03:49Z")

</div>

若 0 \< x \< 2\pi/4 ，则 0 \< \cos x \< 1 ，且 0 \< \sin x \< 1 。

前面已经知道， 0 \leq x \leq 2\pi/4 时， \sin 是（严格）递增的。又因为 \sin 0 = 0 ，而 \sin {(2\pi/4)} = 1 ，故 0 \< x \< 2\pi/4 时 0 \< \sin x \< 1 。因为 \mathrm{D} \cos = -\sin ，所以 0 \leq x \leq 2\pi/4 时 \cos 是（严格）递减的。又因为 \cos 0 = 1 ，而 \cos {(2\pi/4)} = 0 ，故 0 \< x \< 2\pi/4 时 0 \< \cos x \< 1 。

> **You could see the source code here.**
>
> ```markdown
> 若 $0 < x < 2\pi/4$ ，则 $0 < \cos x < 1$ ，且 $0 < \sin x < 1$ 。
> 
> 前面已经知道， $0 \leq x \leq 2\pi/4$ 时， $\sin$ 是（严格）递增的。又因为 $\sin 0 = 0$ ，而 $\sin {(2\pi/4)} = 1$ ，故 $0 < x < 2\pi/4$ 时 $0 < \sin x < 1$ 。因为 $\mathrm{D} \cos = -\sin$ ，所以 $0 \leq x \leq 2\pi/4$ 时 $\cos$ 是（严格）递减的。又因为 $\cos 0 = 1$ ，而 $\cos {(2\pi/4)} = 0$ ，故 $0 < x < 2\pi/4$ 时 $0 < \cos x < 1$ 。
> 
> ```

---

<div class="post-metadata">

作者： ![Septsea](https://meta-edge.appinn.com/user_avatar/meta.appinn.net/septsea/32/58653_2.png) [@Septsea](https://meta.appinn.net/u/Septsea)\
发布日期： [2022 年3 月 9 日 05:12 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/37 "2022-03-09T05:12:41Z")

</div>

若 0 \< x \< 2\pi ，则 \exp {\mathrm{i}x} \neq 1 。

设 x = 4y ，则 0 \< y \< 2\pi/4 。令 u = \cos y ， v = \sin y ，则 \exp {\mathrm{i}y} = u + \mathrm{i}v ，且 0 \< u, v \< 1 。所以

\exp {\mathrm{i}x} = \exp^4 {\mathrm{i}y} = (u + \mathrm{i}v)^4 = (u^4 - 6u^2 v^2 + v^4) + 4uv\mathrm{i} (u^2 - v^2)

假如 \exp {\mathrm{i}x} 不是实数，它当然不等于 1 。但，如果它是实数呢？这意味着 u^2 = v^2 。因为 u^2 + v^2 = 1 ，故 u^2 = v^2 = 1/2 。所以 \exp {\mathrm{i}x} = -1 。

> **You could see the source code here.**
>
> ```markdown
> 若 $0 < x < 2\pi$ ，则 $\exp {\mathrm{i}x} \neq 1$ 。
> 
> 设 $x = 4y$ ，则 $0 < y < 2\pi/4$ 。令 $u = \cos y$ ， $v = \sin y$ ，则 $\exp {\mathrm{i}y} = u + \mathrm{i}v$ ，且 $0 < u, v < 1$ 。所以
> $$
> \exp {\mathrm{i}x} = \exp^4 {\mathrm{i}y} = (u + \mathrm{i}v)^4 = (u^4 - 6u^2 v^2 + v^4) + 4uv\mathrm{i} (u^2 - v^2)
> $$
> 假如 $\exp {\mathrm{i}x}$ 不是实数，它当然不等于 $1$ 。但，如果它是实数呢？这意味着 $u^2 = v^2$ 。因为 $u^2 + v^2 = 1$ ，故 $u^2 = v^2 = 1/2$ 。所以 $\exp {\mathrm{i}x} = -1$ 。
> 
> ```

---

<div class="post-metadata">

作者： ![Septsea](https://meta-edge.appinn.com/user_avatar/meta.appinn.net/septsea/32/58653_2.png) [@Septsea](https://meta.appinn.net/u/Septsea)\
发布日期： [2022 年3 月 9 日 05:18 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/38 "2022-03-09T05:18:33Z")

</div>

现在总算可以说明 \cos 或 \sin 没有比 2\pi 更小的正周期了。

用反证法。假设 0 \< T \< 2\pi 适合：对任意实数 x ，必有 \cos {(x + T)} = \cos x （当然也可以假定 \sin 适合类似的性质）。于是 \sin {(x + T)} = \sin x （若前面反设 \sin ，这里就改为 \cos ）。所以

\begin{aligned} \exp {\mathrm{i}T} = {} & \exp {\mathrm{i}(x + T - x)} \\ = {} & \frac{\exp {\mathrm{i}(x + T)}}{\exp {\mathrm{i}x}} \\ = {} & \frac{\cos {(x + T)} + \mathrm{i} \sin {(x + T)}}{\exp {\mathrm{i}x}} \\ = {} & \frac{\cos {x} + \mathrm{i} \sin {x}}{\exp {\mathrm{i}x}} \\ = {} & 1 \end{aligned}

矛盾！

> **You could see the source code here.**
>
> ```markdown
> 现在总算可以说明 $\cos$ 或 $\sin$ 没有比 $2\pi$ 更小的正周期了。
> 
> 用反证法。假设 $0 < T < 2\pi$ 适合：对任意实数 $x$ ，必有 $\cos {(x + T)} = \cos x$ （当然也可以假定 $\sin$ 适合类似的性质）。于是 $\sin {(x + T)} = \sin x$ （若前面反设 $\sin$ ，这里就改为 $\cos$ ）。所以
> $$
> \begin{aligned}
> \exp {\mathrm{i}T}
> = {} & \exp {\mathrm{i}(x + T - x)} \\
> = {} & \frac{\exp {\mathrm{i}(x + T)}}{\exp {\mathrm{i}x}} \\
> = {} & \frac{\cos {(x + T)} + \mathrm{i} \sin {(x + T)}}{\exp {\mathrm{i}x}} \\
> = {} & \frac{\cos {x} + \mathrm{i} \sin {x}}{\exp {\mathrm{i}x}} \\
> = {} & 1
> \end{aligned}
> $$
> 矛盾！
> 
> ```

---

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作者： ![qinshou](https://meta-edge.appinn.com/letter_avatar_proxy/v4/letter/q/9f8e36/32.png) [@qinshou](https://meta.appinn.net/u/qinshou)\
发布日期： [2022 年3 月 9 日 05:32 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/39 "2022-03-09T05:32:27Z")

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其实我一直没想明白的是，正弦，余弦，正切，余切的命名是怎么来的，虽然大致能理解是圆的弦，切，割线，但从没去深究过。有人跟我一样么？

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作者： ![Septsea](https://meta-edge.appinn.com/user_avatar/meta.appinn.net/septsea/32/58653_2.png) [@Septsea](https://meta.appinn.net/u/Septsea)\
发布日期： [2022 年3 月 9 日 05:46 UTC](https://meta.appinn.net/t/topic/30318/40 "2022-03-09T05:46:56Z")

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感觉这个问题得问研究算学史的人。当然，也可以去百科看看。因为我已经不关心三角函数跟“三角”的联系，所以它怎么命名倒不影响我用分析学方法定义并讨论它。

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