我继续表演吧。
那么，我们就问： 0.999\,999\,999\,999\dots 到底是什么呢？显然，在定义 999 后的 \dots 的含义前， 0.999\,999\,999\,999\dots 只能是一个文字。
到这儿，您可能也看出来了——说 0.\dot{9} 是否等于 1 跟 0.\dot{9} 是什么有密切的关系。如果我们不说清楚 0.\dot{9} 是什么，这个问题是无意义的。
本贴的目标不是讨论 0.\dot{9} 在各种场合下的意义；本贴只展现一种跟大多数算学家的理解相一致的定义。
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那么，我们就问： $0.999\,999\,999\,999\dots$ 到底是什么呢？显然，在定义 $999$ 后的 $\dots$ 的含义前， $0.999\,999\,999\,999\dots$ 只能是一个文字。
到这儿，您可能也看出来了——说 $0.\dot{9}$ 是否等于 $1$ 跟 $0.\dot{9}$ 是什么有密切的关系。如果我们不说清楚 $0.\dot{9}$ 是什么，这个问题是无意义的。
本贴的目标不是讨论 $0.\dot{9}$ 在各种场合下的意义；本贴只展现一种跟大多数算学家的理解相一致的定义。
「他」本身确实就是第三人称无性别单数代词；目前在台湾地区仍然保留这个用法。一般传说「她」是新文化运动中/后为了学习「西方」而造出来的词。
在汉语其他方言/其他汉语中，例如粤语或者潮汕话，其实也有第三人称无性别单数代词，譬如「佢/渠」（粤语）、「伊」（潮汕话/闽南语）。古诗中「伊人」在目前潮汕话日常当中仍然使用，「伊人」根据语境可以：1）特指某个人，类似于「他这个人」（但不知道性别）；或者 2）表示「他们」（同样不知道性别分布）。
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定义：全体非负整数作成的集为 \mathbb{N} 。（因为不同的文献的“自然数”不一定一致，所以我写出我用到的约定。）
定义： \mathbb{N} 到 \mathbb{C} 的子集的函数是数列。
设 f 是数列。一般地，我们写 n 在 f 下的像为 f_n ；当然，之后也会有机会用到记号 f(n) 。
常数列可能是最简单的数列：
\begin{aligned}
\text{$c$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto \mathrm{const}
\end{aligned}
其中 \mathrm{const} 是任意事先指定的常数。
在中学，我们学过等差数列
\begin{aligned}
\text{$a$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto c + nd
\end{aligned}
与等比数列
\begin{aligned}
\text{$g$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto c \cdot d^n
\end{aligned}
等差数列适合
a_{n+1} - a_n = d
而等比数列适合
a_{n+1} = d \cdot a_n
不重要地，常数列是等差数列的特例，也是等比数列的特例（除去一些不重要的例外）。
大家可能见过如下的兔子数列：
\begin{aligned}
\text{$F$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto \begin{cases}
0, & \quad n = 0; \\
1, & \quad n = 1; \\
F_{n-1} + F_{n-2}, & \quad \text{else}
\end{cases}
\end{aligned}
不十分重要地，可用含无理数的公式表示兔子数列：
\begin{aligned}
\text{$F$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto \frac{k^n - \ell^n}{k - \ell}
\end{aligned}
其中 k = \frac{1+\sqrt{5}}{2} ，且 \ell = -1/k 。当然， k + \ell = 1 。
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> 定义：全体非负整数作成的集为 $\mathbb{N}$ 。（因为不同的文献的“自然数”不一定一致，所以我写出我用到的约定。）
> 定义： $\mathbb{N}$ 到 $\mathbb{C}$ 的子集的函数是数列。
设 $f$ 是数列。一般地，我们写 $n$ 在 $f$ 下的像为 $f_n$ ；当然，之后也会有机会用到记号 $f(n)$ 。
---
常数列可能是最简单的数列：
$$
\begin{aligned}
\text{$c$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto \mathrm{const}
\end{aligned}
$$
其中 $\mathrm{const}$ 是任意事先指定的常数。
---
在中学，我们学过等差数列
$$
\begin{aligned}
\text{$a$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto c + nd
\end{aligned}
$$
与等比数列
$$
\begin{aligned}
\text{$g$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto c \cdot d^n
\end{aligned}
$$
等差数列适合
$$
a_{n+1} - a_n = d
$$
而等比数列适合
$$
a_{n+1} = d \cdot a_n
$$
不重要地，常数列是等差数列的特例，也是等比数列的特例（除去一些不重要的例外）。
---
大家可能见过如下的兔子数列：
$$
\begin{aligned}
\text{$F$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto \begin{cases}
0, & \quad n = 0; \\
1, & \quad n = 1; \\
F_{n-1} + F_{n-2}, & \quad \text{else}
\end{cases}
\end{aligned}
$$
不十分重要地，可用含无理数的公式表示兔子数列：
$$
\begin{aligned}
\text{$F$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto \frac{k^n - \ell^n}{k - \ell}
\end{aligned}
$$
其中 $k = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ，且 $\ell = -1/k$ 。当然， $k + \ell = 1$ 。
我们定义一些术语。
设 f 为数列。若存在非负实数 M ，使任取 n \in \mathbb{N} ，都有 |f_n| \leq M ，就说 f 是有界的。
设 f 为数列。若对任意非负实数 M ，都存在 n \in \mathbb{N} ，使 |f_n| > M ，就说 f 是无界的。
任给数列 f 。下面二件事恰有一件发生：
- f 有界；
- f 无界。
不存在既有界又无界的数列；也不存在既不有界又不无界的数列。
设 f 为数列。若对任意 n \in \mathbb{N} ， f_n 都是实数，则说 f 为实数列。
设 f 为实数列。若对任意 n \in \mathbb{N} ，都有 f_n \leq f_{n+1} ，则说 f 是递增的。
设 f 为实数列。若对任意 n \in \mathbb{N} ，都有 f_n \geq f_{n+1} ，则说 f 是递减的。
显然， f 是递增（减）的，相当于 -f 是递减（增）的；这里 -f 表示数列
\begin{aligned}
\text{$-f$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto -f_n
\end{aligned}
若 f 是递增的数列或递减的数列，则说 f 是单调的。
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我们定义一些术语。
---
> 设 $f$ 为数列。若存在非负实数 $M$ ，使任取 $n \in \mathbb{N}$ ，都有 $|f_n| \leq M$ ，就说 $f$ 是有界的。
> 设 $f$ 为数列。若对任意非负实数 $M$ ，都存在 $n \in \mathbb{N}$ ，使 $|f_n| > M$ ，就说 $f$ 是无界的。
任给数列 $f$ 。下面二件事恰有一件发生：
- $f$ 有界；
- $f$ 无界。
不存在既有界又无界的数列；也不存在既不有界又不无界的数列。
> 设 $f$ 为数列。若对任意 $n \in \mathbb{N}$ ， $f_n$ 都是实数，则说 $f$ 为实数列。
> 设 $f$ 为实数列。若对任意 $n \in \mathbb{N}$ ，都有 $f_n \leq f_{n+1}$ ，则说 $f$ 是递增的。
> 设 $f$ 为实数列。若对任意 $n \in \mathbb{N}$ ，都有 $f_n \geq f_{n+1}$ ，则说 $f$ 是递减的。
显然， $f$ 是递增（减）的，相当于 $-f$ 是递减（增）的；这里 $-f$ 表示数列
$$
\begin{aligned}
\text{$-f$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto -f_n
\end{aligned}
$$
> 若 $f$ 是递增的数列或递减的数列，则说 $f$ 是单调的。
在新文化的倡導下，所有的人稱都有了女字旁：娥，妳（嬭）。 
现在我们引入数列的极限。
设 f 是数列。若存在复数 F ，使对任意正数 \varepsilon ，存在非负整数 N ，当 n > N 时必有
|f_n - F| < \varepsilon则说数列 f 收敛。称复数 F 为 f 的（一个）极限。用符号表示此事，就是
\lim {f} = F
设 f 是数列。若对任意复数 F ，存在正数 \varepsilon ，使对任意非负整数 N ，存在某个高于 N 的非负整数 n ，使
|f_n - F| \geq \varepsilon则说数列 f 发散。
任给数列 f 。下面二件事恰有一件发生：
- f 收敛；
- f 发散。
不存在既收敛又发散的数列；也不存在既不收敛又不发散的数列。
我们先给出极限的一个性质。
设 f 是数列。若 F 是 f 的极限，且 G 也是 f 的极限，则 F = G 。
任取正数 \varepsilon 。因为 F 是 f 的极限，故存在非负整数 N_1 ，当 n > N_1 时，
|f_n - F| < \frac{\varepsilon}{2}
因为 G 是 f 的极限，故存在非负整数 N_2 ，当 n > N_2 时，
|f_n - G| < \frac{\varepsilon}{2}
取 N 为 N_1 与 N_2 的较大者。那么，当 n > N 时，
|F - G| = |(f_n - G) - (f_n - F)| \leq |f_n - G| + |f_n - F| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
也就是说， |F - G| 可以比任意正数小。我们用反证法说明 F = G 。若不然，则 |F - G| 为正数。取 \varepsilon = |F - G| 。由上述讨论知， |F - G| < |F - G| 。但是，一个正数不可能比自身小，矛盾！
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现在我们引入数列的极限。
> 设 $f$ 是数列。若存在复数 $F$ ，使对任意正数 $\varepsilon$ ，存在非负整数 $N$ ，当 $n > N$ 时必有
> $$
|f_n - F| < \varepsilon
> $$
> 则说数列 $f$ 收敛。称复数 $F$ 为 $f$ 的（一个）极限。用符号表示此事，就是
> $$
\lim {f} = F
> $$
> 设 $f$ 是数列。若对任意复数 $F$ ，存在正数 $\varepsilon$ ，使对任意非负整数 $N$ ，存在某个高于 $N$ 的非负整数 $n$ ，使
> $$
|f_n - F| \geq \varepsilon
> $$
> 则说数列 $f$ 发散。
任给数列 $f$ 。下面二件事恰有一件发生：
- $f$ 收敛；
- $f$ 发散。
不存在既收敛又发散的数列；也不存在既不收敛又不发散的数列。
---
我们先给出极限的一个性质。
> 设 $f$ 是数列。若 $F$ 是 $f$ 的极限，且 $G$ 也是 $f$ 的极限，则 $F = G$ 。
任取正数 $\varepsilon$ 。因为 $F$ 是 $f$ 的极限，故存在非负整数 $N_1$ ，当 $n > N_1$ 时，
$$
|f_n - F| < \frac{\varepsilon}{2}
$$
因为 $G$ 是 $f$ 的极限，故存在非负整数 $N_2$ ，当 $n > N_2$ 时，
$$
|f_n - G| < \frac{\varepsilon}{2}
$$
取 $N$ 为 $N_1$ 与 $N_2$ 的较大者。那么，当 $n > N$ 时，
$$
|F - G| = |(f_n - G) - (f_n - F)| \leq |f_n - G| + |f_n - F| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
$$
也就是说， $|F - G|$ 可以比任意正数小。我们用反证法说明 $F = G$ 。若不然，则 $|F - G|$ 为正数。取 $\varepsilon = |F - G|$ 。由上述讨论知， $|F - G| < |F - G|$ 。但是，一个正数不可能比自身小，矛盾！
实数列的极限有如下性质：
设 f 为实数列。若 F 是 f 的极限，则 F 是实数。
反设 F = a + b\mathrm{i} ，其中 a 与 b 为实数，且 b \neq 0 。那么 |b| 为正数。所以，存在非负整数 N ，当 n > N 时，
|b| > |f_n - F| = |(f_n - a) + (-b)\mathrm{i}|
由复数的绝对值的性质，有
|(f_n - a) + (-b)\mathrm{i}| \geq |{-b}| = |b|
所以 |b| 比自身大。矛盾！从而 b 必为零。故 F = a \in \mathbb{R} 。
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实数列的极限有如下性质：
> 设 $f$ 为实数列。若 $F$ 是 $f$ 的极限，则 $F$ 是实数。
反设 $F = a + b\mathrm{i}$ ，其中 $a$ 与 $b$ 为实数，且 $b \neq 0$ 。那么 $|b|$ 为正数。所以，存在非负整数 $N$ ，当 $n > N$ 时，
$$
|b| > |f_n - F| = |(f_n - a) + (-b)\mathrm{i}|
$$
由复数的绝对值的性质，有
$$
|(f_n - a) + (-b)\mathrm{i}| \geq |{-b}| = |b|
$$
所以 $|b|$ 比自身大。矛盾！从而 $b$ 必为零。故 $F = a \in \mathbb{R}$ 。
值得一提的是，就算 f 为实数列，且 f 有极限 F ，我们也不能说“ f 一定没有复极限”——因为每个实数也是复数。
我们休息片刻。
下面一个有用的不等式。
设 x > -1 。对任意非负整数 n ，必有
(1 + x)^n \geq 1 + nx
作实数列
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{R}, \\
n & \mapsto (1 + x)^n - (1 + nx)
\end{aligned}
我们考虑 f 的单调性：
\begin{aligned}
& f_{n+1} - f_n \\
= {} & (1 + x)^{n+1} - (1 + (n+1)x) - ((1 + x)^n - (1 + nx)) \\
= {} & (1 + x)^n + x (1 + x)^n - (1 + nx) - x - (1 + x)^n + (1 + nx) \\
= {} & x \cdot ((1 + x)^n - 1)
\end{aligned}
若 x \geq 0 ，则 (1 + x)^n \geq 1 ，故 f_{n+1} - f_n \geq 0 ；若 -1 < x < 0 ，则 0 < (1 + x)^n < 1 ，故仍有 f_{n+1} - f_n \geq 0 。总之， f_{n+1} \geq f_n 。所以，对任意非负整数 n ，必有
f_n \geq f_{n-1} \geq \dots \geq f_0 = 0
也就是 (1 + x)^n \geq 1 + nx 。
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我们休息片刻。
---
下面一个有用的不等式。
> 设 $x > -1$ 。对任意非负整数 $n$ ，必有
> $$
(1 + x)^n \geq 1 + nx
> $$
作实数列
$$
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{R}, \\
n & \mapsto (1 + x)^n - (1 + nx)
\end{aligned}
$$
我们考虑 $f$ 的单调性：
$$
\begin{aligned}
& f_{n+1} - f_n \\
= {} & (1 + x)^{n+1} - (1 + (n+1)x) - ((1 + x)^n - (1 + nx)) \\
= {} & (1 + x)^n + x (1 + x)^n - (1 + nx) - x - (1 + x)^n + (1 + nx) \\
= {} & x \cdot ((1 + x)^n - 1)
\end{aligned}
$$
若 $x \geq 0$ ，则 $(1 + x)^n \geq 1$ ，故 $f_{n+1} - f_n \geq 0$ ；若 $-1 < x < 0$ ，则 $0 < (1 + x)^n < 1$ ，故仍有 $f_{n+1} - f_n \geq 0$ 。总之， $f_{n+1} \geq f_n$ 。所以，对任意非负整数 $n$ ，必有
$$
f_n \geq f_{n-1} \geq \dots \geq f_0 = 0
$$
也就是 $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ 。
大家不妨了解一下数列的直观理解。不过，我们先定义几个术语。
设 s, t 为复数。称 |s - t| 为复数 s, t 的距离。
设 w 为复数， r 为正数。
- 点集 \{ z \mid |z - w| = r\} 是中心为 w ，半径为 r 的圆。
- 点集 \{ z \mid |z - w| < r\} 是中心为 w ，半径为 r 的圆的内部。
- 点集 \{ z \mid |z - w| > r\} 是中心为 w ，半径为 r 的圆的外部。
设 C = \{ z \mid |z - w| = r\} 是圆。设 v 是复数。若 |v - w| = r ，就说 v 在 C 上；若 |v - w| < r ，就说 v 在 C 的内部；若 |v - w| > r ，就说 v 在 C 的外部。
设 f 是数列。设 k 为非负整数。称 f_k 为 f 的第 k 项。 f_0, f_1, f_2, \dots 都是数列 f 的项。
现在我们看一看数列的直观理解。先上定义。
设 f 是数列。若存在复数 F ，使对任意正数 \varepsilon ，存在非负整数 N ，当 n > N 时必有
|f_n - F| < \varepsilon则说数列 f 收敛。称复数 F 为 f 的（一个）极限。
用圆的语言， |f_n - F| < \varepsilon 就是“ f_n 在中心为 F ，半径为 \varepsilon 的圆的内部”。加上限定词“ n > N ”后，就是“除有限多项外（至多 N + 1 项）， f 的项都在中心为 F ，半径为 \varepsilon 的圆的内部”。再加上限定词“对任意正数 \varepsilon ”，就是
对任意正数 \varepsilon ，除有限多项外， f 的项都在中心为 F ，半径为 \varepsilon 的圆的内部。
我们考虑等比数列
\begin{aligned}
\text{$g$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{R}, \\
n & \mapsto (-1)^n
\end{aligned}
我们借助直观理解来说明 g 发散——也就是说， g 不收敛。
反证法。假定复数 G 为 g 的极限。
G = 1 吗？不能。取 r = 1 。设 C 是中心为 G ，半径为 r 的圆。因为 g 的无限多项 g_1, g_3, g_5, \dots 都在此圆的外部，故 1 不是 g 的极限。
G = -1 吗？不能。取 r = 1 。设 C 是中心为 G ，半径为 r 的圆。因为 g 的无限多项 g_0, g_2, g_4, \dots 都在此圆的外部，故 -1 不是 g 的极限。
那 G 是某个除 1, -1 外的复数吗？也不能。设 d_1 是 G 与 1 的距离；设 d_2 是 G 与 -1 的距离。因为我们现在假定 G 是除 1, -1 外的数，故 d_1 跟 d_2 都是正数。取 d 为 d_1, d_2 的较小者。取 r 为 d 的一半。设 C 是中心为 G ，半径为 r 的圆。那么 g 的每一项都在此圆的外部。所以 G 不是 g 的极限。
综上，没有任何复数可以是 g 的极限。从而 g 不收敛。也就是说， g 发散。
读者可试翻译上述的直观语言为更为严谨的算学话。留作练习。
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大家不妨了解一下数列的直观理解。不过，我们先定义几个术语。
> 设 $s$, $t$ 为复数。称 $|s - t|$ 为复数 $s$, $t$ 的距离。
> 设 $w$ 为复数， $r$ 为正数。
> - 点集 $\{ z \mid |z - w| = r\}$ 是中心为 $w$ ，半径为 $r$ 的圆。
> - 点集 $\{ z \mid |z - w| < r\}$ 是中心为 $w$ ，半径为 $r$ 的圆的内部。
> - 点集 $\{ z \mid |z - w| > r\}$ 是中心为 $w$ ，半径为 $r$ 的圆的外部。
> 设 $C = \{ z \mid |z - w| = r\}$ 是圆。设 $v$ 是复数。若 $|v - w| = r$ ，就说 $v$ 在 $C$ 上；若 $|v - w| < r$ ，就说 $v$ 在 $C$ 的内部；若 $|v - w| > r$ ，就说 $v$ 在 $C$ 的外部。
> 设 $f$ 是数列。设 $k$ 为非负整数。称 $f_k$ 为 $f$ 的第 $k$ 项。 $f_0$, $f_1$, $f_2$, $\dots$ 都是数列 $f$ 的项。
---
现在我们看一看数列的直观理解。先上定义。
> 设 $f$ 是数列。若存在复数 $F$ ，使对任意正数 $\varepsilon$ ，存在非负整数 $N$ ，当 $n > N$ 时必有
> $$
|f_n - F| < \varepsilon
> $$
> 则说数列 $f$ 收敛。称复数 $F$ 为 $f$ 的（一个）极限。
用圆的语言， $|f_n - F| < \varepsilon$ 就是“ $f_n$ 在中心为 $F$ ，半径为 $\varepsilon$ 的圆的内部”。加上限定词“ $n > N$ ”后，就是“除有限多项外（至多 $N + 1$ 项）， $f$ 的项都在中心为 $F$ ，半径为 $\varepsilon$ 的圆的内部”。再加上限定词“对任意正数 $\varepsilon$ ”，就是
> 对任意正数 $\varepsilon$ ，除有限多项外， $f$ 的项都在中心为 $F$ ，半径为 $\varepsilon$ 的圆的内部。
---
我们考虑等比数列
$$
\begin{aligned}
\text{$g$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{R}, \\
n & \mapsto (-1)^n
\end{aligned}
$$
我们借助直观理解来说明 $g$ 发散——也就是说， $g$ 不收敛。
反证法。假定复数 $G$ 为 $g$ 的极限。
$G = 1$ 吗？不能。取 $r = 1$ 。设 $C$ 是中心为 $G$ ，半径为 $r$ 的圆。因为 $g$ 的无限多项 $g_1$, $g_3$, $g_5$, $\dots$ 都在此圆的外部，故 $1$ 不是 $g$ 的极限。
$G = -1$ 吗？不能。取 $r = 1$ 。设 $C$ 是中心为 $G$ ，半径为 $r$ 的圆。因为 $g$ 的无限多项 $g_0$, $g_2$, $g_4$, $\dots$ 都在此圆的外部，故 $-1$ 不是 $g$ 的极限。
那 $G$ 是某个除 $1$, $-1$ 外的复数吗？也不能。设 $d_1$ 是 $G$ 与 $1$ 的距离；设 $d_2$ 是 $G$ 与 $-1$ 的距离。因为我们现在假定 $G$ 是除 $1$, $-1$ 外的数，故 $d_1$ 跟 $d_2$ 都是正数。取 $d$ 为 $d_1$, $d_2$ 的较小者。取 $r$ 为 $d$ 的一半。设 $C$ 是中心为 $G$ ，半径为 $r$ 的圆。那么 $g$ 的每一项都在此圆的外部。所以 $G$ 不是 $g$ 的极限。
综上，没有任何复数可以是 $g$ 的极限。从而 $g$ 不收敛。也就是说， $g$ 发散。
读者可试翻译上述的直观语言为更为严谨的算学话。留作练习。
收敛的数列有如下重要的性质。
收敛必有界。具体地说，若数列 f 收敛，则 f 有界。
设 f 收敛。那么，必存在复数 F 与非负整数 N ，当 n > N 时，必有
|f_n - F| < 1
设 M 为 |f_0 - F|, |f_1 - F|, |f_2 - F|, \dots, |f_N - F|, 1 这 N + 2 个数的最大者。则对任意非负整数 n ， |f_n - F| \leq M 。进而
|f_n| = |f_n - F + F| \leq |f_n - F| + |F| \leq M + |F|
既然收敛的数列都是有界的，那么无界的数列一定是发散的。比方说，考虑等差数列
\begin{aligned}
\text{$a$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto c + nd
\end{aligned}
若 d \neq 0 ，则
|a_n| = |dn + c| + |{-c}| - |c| \geq |dn + c - c| - |c| = |d|n - |c|
任取正数 M 。从而，一定有高于 \frac{|c| + M}{|d|} 的非负整数 N 。所以
|a_N| > |d| \cdot \frac{|c| + M}{|d|} - |c| = M
也就是说， a 是无界的。从而 a 一定是发散的。
不重要地，若 d = 0 ，则 a 不但有界，还收敛（且 \lim a = c ）。
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收敛的数列有如下重要的性质。
> 收敛必有界。具体地说，若数列 $f$ 收敛，则 $f$ 有界。
设 $f$ 收敛。那么，必存在复数 $F$ 与非负整数 $N$ ，当 $n > N$ 时，必有
$$
|f_n - F| < 1
$$
设 $M$ 为 $|f_0 - F|$, $|f_1 - F|$, $|f_2 - F|$, $\dots$, $|f_N - F|$, $1$ 这 $N + 2$ 个数的最大者。则对任意非负整数 $n$ ， $|f_n - F| \leq M$ 。进而
$$
|f_n| = |f_n - F + F| \leq |f_n - F| + |F| \leq M + |F|
$$
---
既然收敛的数列都是有界的，那么无界的数列一定是发散的。比方说，考虑等差数列
$$
\begin{aligned}
\text{$a$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto c + nd
\end{aligned}
$$
若 $d \neq 0$ ，则
$$
|a_n| = |dn + c| + |{-c}| - |c| \geq |dn + c - c| - |c| = |d|n - |c|
$$
任取正数 $M$ 。从而，一定有高于 $\frac{|c| + M}{|d|}$ 的非负整数 $N$ 。所以
$$
|a_N| > |d| \cdot \frac{|c| + M}{|d|} - |c| = M
$$
也就是说， $a$ 是无界的。从而 $a$ 一定是发散的。
不重要地，若 $d = 0$ ，则 $a$ 不但有界，还收敛（且 $\lim a = c$ ）。
我们来认识一个十分基础但也非常重要的极限。
设
\begin{aligned} \text{$a$:} \quad \mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\ n & \mapsto c + nd \end{aligned}其中 d \neq 0 ，且对任意非负整数 n ， a_n \neq 0 。则
\lim {\frac{1}{a}} = 0 \tag*{(A)}其中 1/a 是数列
\begin{aligned} \text{$\frac{1}{a}$:} \quad \mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\ n & \mapsto \frac{1}{a_n} \end{aligned}
我们先分析本问题。
按定义，欲证式 (A) 成立，相当于论证对任意正数 \varepsilon ，存在非负整数 N ，当 n > N 时，必有
\bigg| \frac{1}{a_n} - 0 \bigg| < \varepsilon
也就是说
|a_n| > \frac{1}{\varepsilon} \tag*{(B)}
因为
|a_n| = |dn + c| + |{-c}| - |c| \geq |dn + c - c| - |c| = |d|n - |c|
所以，欲使式 (B) 成立，只要使 n 适合
|d|n - |c| > \frac{1}{\varepsilon}
由此可知
n > \frac{|c| + \frac{1}{\varepsilon}}{|d|}
所以我们可取 N 为不低于 \frac{|c| + {1}/{\varepsilon}}{|d|} 的非负整数。
有了上面的分析，我们不难写出如下论证。
任取正数 \varepsilon 。取 N 为不低于 \frac{|c| + {1}/{\varepsilon}}{|d|} 的非负整数。从而， n > N 时，
|a_n| \geq |d|n - |c| > |d| \cdot \frac{|c| + \frac{1}{\varepsilon}}{|d|} - |c| = \frac{1}{\varepsilon}进而
\bigg| \frac{1}{a_n} - 0 \bigg| = \frac{1}{|a_n|} < \varepsilon也就是说，式 (A) 成立。
You could see the source code here.
我们来认识一个十分基础但也非常重要的极限。
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> 设
> $$
\begin{aligned}
\text{$a$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto c + nd
\end{aligned}
> $$
> 其中 $d \neq 0$ ，且对任意非负整数 $n$ ， $a_n \neq 0$ 。则
> $$
\lim {\frac{1}{a}} = 0 \tag*{(A)}
> $$
> 其中 $1/a$ 是数列
> $$
\begin{aligned}
\text{$\frac{1}{a}$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto \frac{1}{a_n}
\end{aligned}
> $$
---
我们先分析本问题。
按定义，欲证式 (A) 成立，相当于论证对任意正数 $\varepsilon$ ，存在非负整数 $N$ ，当 $n > N$ 时，必有
$$
\bigg| \frac{1}{a_n} - 0 \bigg| < \varepsilon
$$
也就是说
$$
|a_n| > \frac{1}{\varepsilon} \tag*{(B)}
$$
因为
$$
|a_n| = |dn + c| + |{-c}| - |c| \geq |dn + c - c| - |c| = |d|n - |c|
$$
所以，欲使式 (B) 成立，只要使 $n$ 适合
$$
|d|n - |c| > \frac{1}{\varepsilon}
$$
由此可知
$$
n > \frac{|c| + \frac{1}{\varepsilon}}{|d|}
$$
所以我们可取 $N$ 为不低于 $\frac{|c| + {1}/{\varepsilon}}{|d|}$ 的非负整数。
有了上面的分析，我们不难写出如下论证。
> 任取正数 $\varepsilon$ 。取 $N$ 为不低于 $\frac{|c| + {1}/{\varepsilon}}{|d|}$ 的非负整数。从而， $n > N$ 时，
> $$
|a_n| \geq |d|n - |c| > |d| \cdot \frac{|c| + \frac{1}{\varepsilon}}{|d|} - |c| = \frac{1}{\varepsilon}
> $$
> 进而
> $$
\bigg| \frac{1}{a_n} - 0 \bigg| = \frac{1}{|a_n|} < \varepsilon
> $$
> 也就是说，式 (A) 成立。
我们再介绍一个极限的性质。有了它，我们可以方便地求一些数列的极限。
设 f, t 是数列，且 t 的极限为零。若存在复数 F 与非负整数 M ，使 n > M 时，必有
|f_n - F| \leq |t_n|则 \lim {f} = F 。
任取正数 \varepsilon 。从而存在非负整数 S ，当 n > S 时，必有
|t_n| = |t_n - 0| < \varepsilon
取 N 为 M 与 S 的较大者。从而， n > N 时，
|f_n - F| \leq |t_n| < \varepsilon
从而 \lim {f} = F 。
有时，我们也会使用这样的变体：
设 f, t 是数列， t 的极限为零。若存在复数 F 与非负整数 M ，使 n > M 时，必有
|f_n - F| \leq t_n则 \lim {f} = F 。
事实上，只要注意到 n > M 时 t_n \geq 0 ，故 t_n = |t_n| 即可。
作为应用，我们求
\begin{aligned}
\text{$g$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto c \cdot d^n
\end{aligned}
的极限，其中 |d| < 1 。这也是一个十分重要的极限。
若 c = 0 或 d = 0 ，那么 g 的无限多项都是 0 ，且至多只有有限多项不是 0 。这意味着 \lim {g} = 0 。下设 c 跟 d 都不是 0 。
因为 0 < |d| < 1 ，令 a = 1/|d| - 1 ，则 a > 0 。从而对非负整数 n ，
\frac{1}{|d|^n} = (1 + a)^n \geq 1 + na > 0
所以
|g_n - 0| = |c| \cdot |d|^n < \frac{|c|}{1 + na} = \frac{1}{\frac{1}{|c|} + \frac{a}{|c|}n}
作数列
\begin{aligned}
\text{$s$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto \frac{1}{\frac{1}{|c|} + \frac{a}{|c|}n}
\end{aligned}
从而 n 为非负整数时
|g_n - 0| \leq s_n
因为 \lim {s} = 0 ，由此可知 \lim {g} = 0 。总之， |d| < 1 时，必有 \lim {g} = 0 。
熟练时，我们写出类似于
|g_n - 0| < \frac{1}{\frac{1}{|c|} + \frac{a}{|c|}n}
的不等式即可直接写结论了，并不需要每次都“召唤”一个新数列——不等关系才是关键。
例如，我们来求
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto \frac{1}{1 + n^2}
\end{aligned}
的极限。因为 1 + n^2 \geq 1 + n > 0 ，故
|f_n - 0| < \frac{1}{1 + n}
由此可直接写出 \lim {f} = 0 ——我们就不必召唤数列
\begin{aligned}
\text{$t$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto \frac{1}{1 + n}
\end{aligned}
了。这个求数列的极限的方法需要我们熟悉一些极限为零的数列，还要熟悉一些不等式。不过，读者在学习过程中会积累不少经验。
You could see the source code here.
我们再介绍一个极限的性质。有了它，我们可以方便地求一些数列的极限。
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> 设 $f$, $t$ 是数列，且 $t$ 的极限为零。若存在复数 $F$ 与非负整数 $M$ ，使 $n > M$ 时，必有
> $$
|f_n - F| \leq |t_n|
> $$
> 则 $\lim {f} = F$ 。
任取正数 $\varepsilon$ 。从而存在非负整数 $S$ ，当 $n > S$ 时，必有
$$
|t_n| = |t_n - 0| < \varepsilon
$$
取 $N$ 为 $M$ 与 $S$ 的较大者。从而， $n > N$ 时，
$$
|f_n - F| \leq |t_n| < \varepsilon
$$
从而 $\lim {f} = F$ 。
---
有时，我们也会使用这样的变体：
> 设 $f$, $t$ 是数列， $t$ 的极限为零。若存在复数 $F$ 与非负整数 $M$ ，使 $n > M$ 时，必有
> $$
|f_n - F| \leq t_n
> $$
> 则 $\lim {f} = F$ 。
事实上，只要注意到 $n > M$ 时 $t_n \geq 0$ ，故 $t_n = |t_n|$ 即可。
---
作为应用，我们求
$$
\begin{aligned}
\text{$g$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto c \cdot d^n
\end{aligned}
$$
的极限，其中 $|d| < 1$ 。这也是一个十分重要的极限。
若 $c = 0$ 或 $d = 0$ ，那么 $g$ 的无限多项都是 $0$ ，且至多只有有限多项不是 $0$ 。这意味着 $\lim {g} = 0$ 。下设 $c$ 跟 $d$ 都不是 $0$ 。
因为 $0 < |d| < 1$ ，令 $a = 1/|d| - 1$ ，则 $a > 0$ 。从而对非负整数 $n$ ，
$$
\frac{1}{|d|^n} = (1 + a)^n \geq 1 + na > 0
$$
所以
$$
|g_n - 0| = |c| \cdot |d|^n < \frac{|c|}{1 + na} = \frac{1}{\frac{1}{|c|} + \frac{a}{|c|}n}
$$
作数列
$$
\begin{aligned}
\text{$s$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto \frac{1}{\frac{1}{|c|} + \frac{a}{|c|}n}
\end{aligned}
$$
从而 $n$ 为非负整数时
$$
|g_n - 0| \leq s_n
$$
因为 $\lim {s} = 0$ ，由此可知 $\lim {g} = 0$ 。总之， $|d| < 1$ 时，必有 $\lim {g} = 0$ 。
---
熟练时，我们写出类似于
$$
|g_n - 0| < \frac{1}{\frac{1}{|c|} + \frac{a}{|c|}n}
$$
的不等式即可直接写结论了，并不需要每次都“召唤”一个新数列——不等关系才是关键。
例如，我们来求
$$
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto \frac{1}{1 + n^2}
\end{aligned}
$$
的极限。因为 $1 + n^2 \geq 1 + n > 0$ ，故
$$
|f_n - 0| < \frac{1}{1 + n}
$$
由此可直接写出 $\lim {f} = 0$ ——我们就不必召唤数列
$$
\begin{aligned}
\text{$t$:} \quad
\mathbb{N} & \to \mathbb{C}, \\
n & \mapsto \frac{1}{1 + n}
\end{aligned}
$$
了。这个求数列的极限的方法需要我们熟悉一些极限为零的数列，还要熟悉一些不等式。不过，读者在学习过程中会积累不少经验。
Well, I will finish what I have promised. No one really cares, so I do not have to act with great haste.
「娥」不是近代的产物吧？
不是，但是依「她」字類推，就應該有「妳」和「娥」。