我曾在这里说，我会在之后的贴子里介绍复数。现在，复数介绍贴就来了。
假定读者熟悉实数的运算（初中算学的水平即可）。
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定义：设 x, y 是实数。复数就是形如 (x,y) 的符号。
注：以后，我们说“复数 (x,y) ”时， x 与 y 自动地被理解为实数。
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定义：设 $x$, $y$ 是实数。复数就是形如 $(x,y)$ 的符号。
注：以后，我们说“复数 $(x,y)$ ”时， $x$ 与 $y$ 自动地被理解为实数。
定义：设 z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2) 是二个复数。 z_1 与 z_2 相等就是指 x_1 = x_2 与 y_1 = y_2 。用符号表示此事，就是 z_1 = z_2 。
例： (1,2) 与 (0+1, \sqrt{4}) 是相等的二个复数。
例： (x,y) 与 (0,0) 相等的一个必要与充分条件是 x=y=0 。
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定义：设 $z_1 = (x_1, y_1)$, $z_2 = (x_2, y_2)$ 是二个复数。 $z_1$ 与 $z_2$ 相等就是指 $x_1 = x_2$ 与 $y_1 = y_2$ 。用符号表示此事，就是 $z_1 = z_2$ 。
例： $(1,2)$ 与 $(0+1, \sqrt{4})$ 是相等的二个复数。
例： $(x,y)$ 与 $(0,0)$ 相等的一个必要与充分条件是 $x=y=0$ 。
复数的相等适合如下三律。具体地，设 z_1, z_2, z_3 是三个复数。则：
- 反射律： z_1 = z_1 ；
- 对称律： 若 z_1 = z_2 ，则 z_2 = z_1 ；
- 推移律： 若 z_1 = z_2 且 z_2 = z_3 ，则 z_1 = z_3 。
我们证明稍复杂的推移律，并将其馀二律留给读者作练习。
注：复数的相等三律依赖实数的相等三律。具体地，设 a_1, a_2, a_3 是三个实数。则：
- 反射律： a_1 = a_1 ；
- 对称律： 若 a_1 = a_2 ，则 a_2 = a_1 ；
- 推移律： 若 a_1 = a_2 且 a_2 = a_3 ，则 a_1 = a_3 。
设
\begin{aligned}
& z_1 = (x_1, y_1), \\
& z_2 = (x_2, y_2), \\
& z_3 = (x_3, y_3)
\end{aligned}
由 z_1 = z_2 ，知
x_1 = x_2 \qquad \text{and} \qquad y_1 = y_2
由 z_2 = z_3 ，知
x_2 = x_3 \qquad \text{and} \qquad y_2 = y_3
因为 x_1 = x_2 且 x_2 = x_3 ，故 x_1 = x_3 ；因为 y_1 = y_2 且 y_2 = y_3 ，故 y_1 = y_3 。所以， z_1 = z_3 。
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复数的相等适合如下三律。具体地，设 $z_1$, $z_2$, $z_3$ 是三个复数。则：
- 反射律： $z_1 = z_1$ ；
- 对称律： 若 $z_1 = z_2$ ，则 $z_2 = z_1$ ；
- 推移律： 若 $z_1 = z_2$ 且 $z_2 = z_3$ ，则 $z_1 = z_3$ 。
我们证明稍复杂的推移律，并将其馀二律留给读者作练习。
注：复数的相等三律依赖实数的相等三律。具体地，设 $a_1$, $a_2$, $a_3$ 是三个实数。则：
- 反射律： $a_1 = a_1$ ；
- 对称律： 若 $a_1 = a_2$ ，则 $a_2 = a_1$ ；
- 推移律： 若 $a_1 = a_2$ 且 $a_2 = a_3$ ，则 $a_1 = a_3$ 。
---
设
$$
\begin{aligned}
& z_1 = (x_1, y_1), \\
& z_2 = (x_2, y_2), \\
& z_3 = (x_3, y_3)
\end{aligned}
$$
由 $z_1 = z_2$ ，知
$$
x_1 = x_2 \qquad \text{and} \qquad y_1 = y_2
$$
由 $z_2 = z_3$ ，知
$$
x_2 = x_3 \qquad \text{and} \qquad y_2 = y_3
$$
因为 $x_1 = x_2$ 且 $x_2 = x_3$ ，故 $x_1 = x_3$ ；因为 $y_1 = y_2$ 且 $y_2 = y_3$ ，故 $y_1 = y_3$ 。所以， $z_1 = z_3$ 。
我们介绍二个有用的命题。
设 x, y 是实数。 x = y = 0 的一个必要与充分条件是 x^2 + y^2 = 0 。
先证必要性。假定 x^2 + y^2 = 0 。我们要由此推出 x = y = 0 。
这需要实数的一个重要性质：对任意非零实数 a ， a^2 > 0 。所以，对任意实数 b ， b^2 \geq 0 。
现在，可以考虑反证法。假设 x \neq 0 。这样， x^2 > 0 。不难看出， y^2 \geq 0 。所以， x^2 + y^2 \geq x^2 > 0 。这跟 x^2 + y^2 = 0 矛盾！故 x = 0 。所以， y^2 = 0 。所以 y = 0 。
再证充分性。假定 x = y = 0 。我们要由此推出 x^2 + y^2 = 0 。
这个十分简单： x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0 + 0 = 0 。
设复数 z = (x, y) 。 z = (0, 0) 的一个必要与充分条件是 x^2 + y^2 = 0 ； z \neq (0, 0) 的一个必要与充分条件是 x^2 + y^2 \neq 0 。
注： z_1 \neq z_2 就是“ z_1 = z_2 ”的否定。具体地说，设 z_1 = (x_1, y_2), z_2 = (x_2, y_2) 。 z_1 \neq z_2 的意思是： x_1 \neq x_2 或 y_1 \neq y_2 。
这就留给读者作习题吧。
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我们介绍二个有用的命题。
> 设 $x$, $y$ 是实数。 $x = y = 0$ 的一个必要与充分条件是 $x^2 + y^2 = 0$ 。
先证必要性。假定 $x^2 + y^2 = 0$ 。我们要由此推出 $x = y = 0$ 。
这需要实数的一个重要性质：对任意非零实数 $a$ ， $a^2 > 0$ 。所以，对任意实数 $b$ ， $b^2 \geq 0$ 。
现在，可以考虑反证法。假设 $x \neq 0$ 。这样， $x^2 > 0$ 。不难看出， $y^2 \geq 0$ 。所以， $x^2 + y^2 \geq x^2 > 0$ 。这跟 $x^2 + y^2 = 0$ 矛盾！故 $x = 0$ 。所以， $y^2 = 0$ 。所以 $y = 0$ 。
再证充分性。假定 $x = y = 0$ 。我们要由此推出 $x^2 + y^2 = 0$ 。
这个十分简单： $x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0 + 0 = 0$ 。
---
> 设复数 $z = (x, y)$ 。 $z = (0, 0)$ 的一个必要与充分条件是 $x^2 + y^2 = 0$ ； $z \neq (0, 0)$ 的一个必要与充分条件是 $x^2 + y^2 \neq 0$ 。
注： $z_1 \neq z_2$ 就是“ $z_1 = z_2$ ”的否定。具体地说，设 $z_1 = (x_1, y_2)$, $z_2 = (x_2, y_2)$ 。 $z_1 \neq z_2$ 的意思是： $x_1 \neq x_2$ 或 $y_1 \neq y_2$ 。
这就留给读者作习题吧。
现在我们引入复数的加法运算。
定义：设 z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2) 。则 z_1 与 z_2 的和
z_1 + z_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
因为二个实数的和还是实数，所以二个复数的和是复数。并且，若 z_1 = z_3 且 z_2 = z_4 ，则 z_1 + z_2 = z_3 + z_4 。（请读者自行用复数的相等与复数的加法的定义证明它。读者可能需要这个命题：“设 a_1, a_2, a_3, a_4 是实数。若 a_1 = a_3 且 a_2 = a_4 ，则 a_1 + a_2 = a_3 + a_4 。”）
例： 设 z = (1,2) 且 w = (-2,1) 。则
z + w = (1 + (-2), 2 + 1) = (-1,3)
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现在我们引入复数的加法运算。
定义：设 $z_1 = (x_1, y_1)$, $z_2 = (x_2, y_2)$ 。则 $z_1$ 与 $z_2$ 的和
$$
z_1 + z_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
$$
因为二个实数的和还是实数，所以二个复数的和是复数。并且，若 $z_1 = z_3$ 且 $z_2 = z_4$ ，则 $z_1 + z_2 = z_3 + z_4$ 。（请读者自行用复数的相等与复数的加法的定义证明它。读者可能需要这个命题：“设 $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ 是实数。若 $a_1 = a_3$ 且 $a_2 = a_4$ ，则 $a_1 + a_2 = a_3 + a_4$ 。”）
例： 设 $z = (1,2)$ 且 $w = (-2,1)$ 。则
$$
z + w = (1 + (-2), 2 + 1) = (-1,3)
$$
由恒等式 \mathrm{e}^{\mathrm{i} t} = \cos t + \mathrm{i} \sin t 可知
\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi} = \cos \pi + \mathrm{i} \sin \pi = -1
这里 \pi 是圆的周长与其直径的比。
$$
\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi} = \cos \pi + \mathrm{i} \sin \pi = -1
$$
复数的加法适合如下性质。具体地，设 z_1, z_2, z_3 是（任意的）复数，则：
- 交换律： z_1 + z_2 = z_2 + z_1 ；
- 结合律： (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) ；
- 零：存在复数 N ，使对任意复数 z_1 ，都有 z_1 + N = z_1 ；
- 相反数：对任意复数 z_1 ，存在复数 w_1 ，使 z_1 + w_1 = N 。
这些性质的论证很简单。不过，这些性质依赖实数的加法的对应性质。具体地，设 a_1, a_2, a_3 是（任意的）实数，则：
- 交换律： a_1 + a_2 = a_2 + a_1 ；
- 结合律： (a_1 + a_2) + a_3 = a_1 + (a_2 + a_3) ；
- 零：存在实数 n ，使对任意实数 a_1 ，都有 a_1 + n = a_1 （此 n 即 0 ）；
- 相反数：对任意实数 a_1 ，存在实数 b_1 ，使 a_1 + b_1 = n （此 b_1 即 -a_1 ）。
设
\begin{aligned}
& z_1 = (x_1, y_1), \\
& z_2 = (x_2, y_2), \\
& z_3 = (x_3, y_3)
\end{aligned}
0. 按加法的定义
\begin{aligned}
& z_1 + z_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2), \\
& z_2 + z_1 = (x_2 + x_1, y_2 + y_1)
\end{aligned}
因为 x_1 + x_2 = x_2 + x_1 且 y_1 + y_2 = y_2 + y_1 ，故 z_1 + z_2 = z_2 + z_1 。
1. 按加法的定义
\begin{aligned}
& (z_1 + z_2) + z_3 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) + (x_3, y_3) = ((x_1 + x_2) + x_3, (y_1 + y_2) + y_3), \\
& z_1 + (z_2 + z_3) = (x_1, y_1) + (x_2 + x_3, y_2 + y_3) = (x_1 + (x_2 + x_3), y_1 + (y_2 + y_3))
\end{aligned}
因为 (x_1 + x_2) + x_3 = x_1 + (x_2 + x_3) 且 (y_1 + y_2) + y_3 = y_1 + (y_2 + y_3) ，故 (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) 。
2. 取 N = (0,0) 。则
z_1 + N = (x_1 + 0, y_1 + 0) = (x_1, y_1) = z_1
3. 取 w_1 = (-x_1,-y_1) 。则
z_1 + w_1 = (x_1 + (-x_1), y_1 + (-y_1)) = (0, 0) = N
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复数的加法适合如下性质。具体地，设 $z_1$, $z_2$, $z_3$ 是（任意的）复数，则：
> 0. 交换律： $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$ ；
> 1. 结合律： $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$ ；
> 2. 零：存在复数 $N$ ，使对任意复数 $z_1$ ，都有 $z_1 + N = z_1$ ；
> 3. 相反数：对任意复数 $z_1$ ，存在复数 $w_1$ ，使 $z_1 + w_1 = N$ 。
这些性质的论证很简单。不过，这些性质依赖实数的加法的对应性质。具体地，设 $a_1$, $a_2$, $a_3$ 是（任意的）实数，则：
> 0. 交换律： $a_1 + a_2 = a_2 + a_1$ ；
> 1. 结合律： $(a_1 + a_2) + a_3 = a_1 + (a_2 + a_3)$ ；
> 2. 零：存在实数 $n$ ，使对任意实数 $a_1$ ，都有 $a_1 + n = a_1$ （此 $n$ 即 $0$ ）；
> 3. 相反数：对任意实数 $a_1$ ，存在实数 $b_1$ ，使 $a_1 + b_1 = n$ （此 $b_1$ 即 $-a_1$ ）。
---
设
$$
\begin{aligned}
& z_1 = (x_1, y_1), \\
& z_2 = (x_2, y_2), \\
& z_3 = (x_3, y_3)
\end{aligned}
$$
0\. 按加法的定义
$$
\begin{aligned}
& z_1 + z_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2), \\
& z_2 + z_1 = (x_2 + x_1, y_2 + y_1)
\end{aligned}
$$
因为 $x_1 + x_2 = x_2 + x_1$ 且 $y_1 + y_2 = y_2 + y_1$ ，故 $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$ 。
1\. 按加法的定义
$$
\begin{aligned}
& (z_1 + z_2) + z_3 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) + (x_3, y_3) = ((x_1 + x_2) + x_3, (y_1 + y_2) + y_3), \\
& z_1 + (z_2 + z_3) = (x_1, y_1) + (x_2 + x_3, y_2 + y_3) = (x_1 + (x_2 + x_3), y_1 + (y_2 + y_3))
\end{aligned}
$$
因为 $(x_1 + x_2) + x_3 = x_1 + (x_2 + x_3)$ 且 $(y_1 + y_2) + y_3 = y_1 + (y_2 + y_3)$ ，故 $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$ 。
2\. 取 $N = (0,0)$ 。则
$$
z_1 + N = (x_1 + 0, y_1 + 0) = (x_1, y_1) = z_1
$$
3\. 取 $w_1 = (-x_1,-y_1)$ 。则
$$
z_1 + w_1 = (x_1 + (-x_1), y_1 + (-y_1)) = (0, 0) = N
$$
我们再补充几点。
0. 复数里，至多有一个零。具体地，若存在复数 N_1 与 N_2 适合“对任意复数 z ，都有 z + N_1 = z 与 z + N_2 = z ”，则 N_1 = N_2 。这是因为
\begin{aligned}
N_1
= {} & N_1 + N_2 \\
= {} & N_2 + N_1 \\
= {} & N_2
\end{aligned}
由此可知，复数里，恰有一个零。具体地，恰存在一个复数 N = (0,0) ，使对任意复数 z ， z + N = z 。以后，我们就简单地写 (0,0) 为 0 。表面地，这么做会使其跟实数的 0 混淆，实则并不会——我们还没有定义实数加复数（或复数加实数）是什么。在蟒蛇里， \mathtt{\text{"0"} + 0} （默认）就是无意义的表达式。
1. 每个复数至多有一个相反数。具体地，任取复数 z 。若存在二个复数 w 与 w' 使 z + w = 0 且 z + w' = 0 ，则 w = w' 。这是因为
\begin{aligned}
w
= {} & w + 0 \\
= {} & w + (z + w') \\
= {} & (w + z) + w' \\
= {} & (z + w) + w' \\
= {} & 0 + w' \\
= {} & w' + 0 \\
= {} & w'
\end{aligned}
由此可知，每个复数恰有一个相反数。具体地，设 z = (x,y) 。恰存在一个复数 w = (-x,-y) 使 z + w = 0 。以后，我们就叫适合此性质的 w 为 -z 。
2. 有了相反数，我们就可以定义减法。设 z_1, z_2 是二个复数。定义
z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2)
由此可知：二个复数的差还是复数；若复数 z_1, z_2, z_3, z_4 适合 z_1 = z_3 与 z_2 = z_4 ，则 z_1 - z_2 = z_3 - z_4 。（我们用复数的加法的结果就可以证明。具体地说，因为 z_2 是复数，故 -z_2 也是，从而 z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2) 是复数。类似地，读者也可证明后一个论断。）
3. 一个数的相反数的相反数是自身。具体地，设 z 是复数。再设 w = -z 。那么 -w = z 。
按照定义， -w 就是适合 w + T = 0 的唯一复数 T 。因为
w + z = z + w = z + (-z) = 0
故 T = z 。
4. 设 z_1, z_2 是复数。则 -(z_1 + z_2) = -z_1 - z_2 。设 w = z_1 + z_2 。 -w 就是适合 w + T = 0 的唯一复数 T 。因为
\begin{aligned}
w + (-z_1 - z_2)
= {} & (z_1 + z_2) + ((-z_1) + (-z_2)) \\
= {} & (z_2 + z_1) + ((-z_1) + (-z_2)) \\
= {} & ((z_2 + z_1) + (-z_1)) + (-z_2) \\
= {} & (z_2 + (z_1 + (-z_1))) + (-z_2) \\
= {} & (z_2 + 0) + (-z_2) \\
= {} & z_2 + (-z_2) \\
= {} & 0
\end{aligned}
故 T = -z_1 - z_2 。
5. 因为结合律，我们可以不区分 (z_1 + z_2) + z_3 与 z_1 + (z_2 + z_3) ，而用不带括号的 z_1 + z_2 + z_3 表示它们。
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我们再补充几点。
0\. 复数里，至多有一个零。具体地，若存在复数 $N_1$ 与 $N_2$ 适合“对任意复数 $z$ ，都有 $z + N_1 = z$ 与 $z + N_2 = z$ ”，则 $N_1 = N_2$ 。这是因为
$$
\begin{aligned}
N_1
= {} & N_1 + N_2 \\
= {} & N_2 + N_1 \\
= {} & N_2
\end{aligned}
$$
由此可知，复数里，恰有一个零。具体地，恰存在一个复数 $N = (0,0)$ ，使对任意复数 $z$ ， $z + N = z$ 。以后，我们就简单地写 $(0,0)$ 为 $0$ 。表面地，这么做会使其跟实数的 $0$ 混淆，实则并不会——我们还没有定义实数加复数（或复数加实数）是什么。在蟒蛇里， $\mathtt{\text{"0"} + 0}$ （默认）就是无意义的表达式。
1\. 每个复数至多有一个相反数。具体地，任取复数 $z$ 。若存在二个复数 $w$ 与 $w'$ 使 $z + w = 0$ 且 $z + w' = 0$ ，则 $w = w'$ 。这是因为
$$
\begin{aligned}
w
= {} & w + 0 \\
= {} & w + (z + w') \\
= {} & (w + z) + w' \\
= {} & (z + w) + w' \\
= {} & 0 + w' \\
= {} & w' + 0 \\
= {} & w'
\end{aligned}
$$
由此可知，每个复数恰有一个相反数。具体地，设 $z = (x,y)$ 。恰存在一个复数 $w = (-x,-y)$ 使 $z + w = 0$ 。以后，我们就叫适合此性质的 $w$ 为 $-z$ 。
2\. 有了相反数，我们就可以定义减法。设 $z_1$, $z_2$ 是二个复数。定义
$$
z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2)
$$
由此可知：二个复数的差还是复数；若复数 $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$ 适合 $z_1 = z_3$ 与 $z_2 = z_4$ ，则 $z_1 - z_2 = z_3 - z_4$ 。（我们用复数的加法的结果就可以证明。具体地说，因为 $z_2$ 是复数，故 $-z_2$ 也是，从而 $z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2)$ 是复数。类似地，读者也可证明后一个论断。）
3\. 一个数的相反数的相反数是自身。具体地，设 $z$ 是复数。再设 $w = -z$ 。那么 $-w = z$ 。
按照定义， $-w$ 就是适合 $w + T = 0$ 的唯一复数 $T$ 。因为
$$
w + z = z + w = z + (-z) = 0
$$
故 $T = z$ 。
4\. 设 $z_1$, $z_2$ 是复数。则 $-(z_1 + z_2) = -z_1 - z_2$ 。设 $w = z_1 + z_2$ 。 $-w$ 就是适合 $w + T = 0$ 的唯一复数 $T$ 。因为
$$
\begin{aligned}
w + (-z_1 - z_2)
= {} & (z_1 + z_2) + ((-z_1) + (-z_2)) \\
= {} & (z_2 + z_1) + ((-z_1) + (-z_2)) \\
= {} & ((z_2 + z_1) + (-z_1)) + (-z_2) \\
= {} & (z_2 + (z_1 + (-z_1))) + (-z_2) \\
= {} & (z_2 + 0) + (-z_2) \\
= {} & z_2 + (-z_2) \\
= {} & 0
\end{aligned}
$$
故 $T = -z_1 - z_2$ 。
5\. 因为结合律，我们可以不区分 $(z_1 + z_2) + z_3$ 与 $z_1 + (z_2 + z_3)$ ，而用不带括号的 $z_1 + z_2 + z_3$ 表示它们。
现在我们引入复数的乘法运算。
定义：设 z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2) 。则 z_1 与 z_2 的积
z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2)
注： z_1 z_2 当然可写为 z_1 \cdot z_2 。
因为二个实数的和、差、积还是实数，所以二个复数的积是复数。并且，若 z_1 = z_3 且 z_2 = z_4 ，则 z_1 z_2 = z_3 z_4 。（请读者自行用复数的相等与复数的乘法的定义证明它。读者可能需要这个命题：“设 a_1, a_2, a_3, a_4 是实数。若 a_1 = a_3 且 a_2 = a_4 ，则 a_1 \circ a_2 = a_3 \circ a_4 ，其中 \circ 是三文字 +, -, \cdot 的任意一个。”）
例：设 z = (1,2) 且 w = (-2,1) 。则
z w = (1 \cdot (-2) - 2 \cdot 1, 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 2) = (-4, -3)
You could see the source code here.
现在我们引入复数的乘法运算。
定义：设 $z_1 = (x_1, y_1)$, $z_2 = (x_2, y_2)$ 。则 $z_1$ 与 $z_2$ 的积
$$
z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2)
$$
注： $z_1 z_2$ 当然可写为 $z_1 \cdot z_2$ 。
因为二个实数的和、差、积还是实数，所以二个复数的积是复数。并且，若 $z_1 = z_3$ 且 $z_2 = z_4$ ，则 $z_1 z_2 = z_3 z_4$ 。（请读者自行用复数的相等与复数的乘法的定义证明它。读者可能需要这个命题：“设 $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ 是实数。若 $a_1 = a_3$ 且 $a_2 = a_4$ ，则 $a_1 \circ a_2 = a_3 \circ a_4$ ，其中 $\circ$ 是三文字 $+$, $-$, $\cdot$ 的任意一个。”）
例：设 $z = (1,2)$ 且 $w = (-2,1)$ 。则
$$
z w = (1 \cdot (-2) - 2 \cdot 1, 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 2) = (-4, -3)
$$
分配律是焊接复数的加法与乘法的桥。
分配律：设 z_1, z_2, z_3 是复数。则
\begin{aligned} & (z_1 + z_2) z_3 = z_1 z_3 + z_2 z_3, \\ & z_1 (z_2 + z_3) = z_1 z_2 + z_1 z_3 \end{aligned}
注：我们约定，乘法的优先级比加法的高。比方说， z_1 \cdot z_2 + z_3 意味着 (z_1 \cdot z_2) + z_3 ，而不是 z_1 \cdot (z_2 + z_3) 。
复数的分配律依赖实数的分配律。具体地，若 a_1, a_2, a_3 是实数，则
\begin{aligned}
& (a_1 + a_2) a_3 = a_1 a_3 + a_2 a_3, \\
& a_1 (a_2 + a_3) = a_1 a_2 + a_1 a_3
\end{aligned}
当然，加法的交换律与结合律也是不可缺少的。
我们在此处证明前一个等式；后一个等式留给读者作练习。
设
\begin{aligned}
& z_1 = (x_1, y_1), \\
& z_2 = (x_2, y_2), \\
& z_3 = (x_3, y_3)
\end{aligned}
不难算出
\begin{aligned}
& z_1 z_3 = (x_1 x_3 - y_1 y_3, x_1 y_3 + y_1 x_3), \\
& z_2 z_3 = (x_2 x_3 - y_2 y_3, x_2 y_3 + y_2 x_3)
\end{aligned}
故
\begin{aligned}
& z_1 z_3 + z_2 z_3 \\
= {} & ((x_1 x_3 - y_1 y_3) + (x_2 x_3 - y_2 y_3), (x_1 y_3 + y_1 x_3) + (x_2 y_3 + y_2 x_3)) \\
= {} & (((x_1 x_3 - y_1 y_3) + x_2 x_3) - y_2 y_3, ((x_1 y_3 + y_1 x_3) + x_2 y_3) + y_2 x_3) \\
= {} & ((x_1 x_3 + (- y_1 y_3 + x_2 x_3)) - y_2 y_3, (x_1 y_3 + (y_1 x_3 + x_2 y_3)) + y_2 x_3) \\
= {} & ((x_1 x_3 + (x_2 x_3 - y_1 y_3)) - y_2 y_3, (x_1 y_3 + (x_2 y_3 + y_1 x_3)) + y_2 x_3) \\
= {} & (((x_1 x_3 + x_2 x_3) - y_1 y_3) - y_2 y_3, ((x_1 y_3 + x_2 y_3) + y_1 x_3) + y_2 x_3) \\
= {} & ((x_1 x_3 + x_2 x_3) + (-y_1 y_3 - y_2 y_3), (x_1 y_3 + x_2 y_3) + (y_1 x_3 + y_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 x_3 + x_2 x_3) - (y_1 y_3 + y_2 y_3), (x_1 y_3 + x_2 y_3) + (y_1 x_3 + y_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 + x_2) x_3 - (y_1 + y_2) y_3, (x_1 + x_2) y_3 + (y_1 + y_2) x_3) \\
= {} & (x_1 + x_2, y_1 + y_2) (x_3, y_3) \\
= {} & (z_1 + z_2) z_3
\end{aligned}
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分配律是焊接复数的加法与乘法的桥。
> 分配律：设 $z_1$, $z_2$, $z_3$ 是复数。则
> $$
\begin{aligned}
& (z_1 + z_2) z_3 = z_1 z_3 + z_2 z_3, \\
& z_1 (z_2 + z_3) = z_1 z_2 + z_1 z_3
\end{aligned}
> $$
注：我们约定，乘法的优先级比加法的高。比方说， $z_1 \cdot z_2 + z_3$ 意味着 $(z_1 \cdot z_2) + z_3$ ，而不是 $z_1 \cdot (z_2 + z_3)$ 。
复数的分配律依赖实数的分配律。具体地，若 $a_1$, $a_2$, $a_3$ 是实数，则
$$
\begin{aligned}
& (a_1 + a_2) a_3 = a_1 a_3 + a_2 a_3, \\
& a_1 (a_2 + a_3) = a_1 a_2 + a_1 a_3
\end{aligned}
$$
当然，加法的交换律与结合律也是不可缺少的。
我们在此处证明前一个等式；后一个等式留给读者作练习。
---
设
$$
\begin{aligned}
& z_1 = (x_1, y_1), \\
& z_2 = (x_2, y_2), \\
& z_3 = (x_3, y_3)
\end{aligned}
$$
不难算出
$$
\begin{aligned}
& z_1 z_3 = (x_1 x_3 - y_1 y_3, x_1 y_3 + y_1 x_3), \\
& z_2 z_3 = (x_2 x_3 - y_2 y_3, x_2 y_3 + y_2 x_3)
\end{aligned}
$$
故
$$
\begin{aligned}
& z_1 z_3 + z_2 z_3 \\
= {} & ((x_1 x_3 - y_1 y_3) + (x_2 x_3 - y_2 y_3), (x_1 y_3 + y_1 x_3) + (x_2 y_3 + y_2 x_3)) \\
= {} & (((x_1 x_3 - y_1 y_3) + x_2 x_3) - y_2 y_3, ((x_1 y_3 + y_1 x_3) + x_2 y_3) + y_2 x_3) \\
= {} & ((x_1 x_3 + (- y_1 y_3 + x_2 x_3)) - y_2 y_3, (x_1 y_3 + (y_1 x_3 + x_2 y_3)) + y_2 x_3) \\
= {} & ((x_1 x_3 + (x_2 x_3 - y_1 y_3)) - y_2 y_3, (x_1 y_3 + (x_2 y_3 + y_1 x_3)) + y_2 x_3) \\
= {} & (((x_1 x_3 + x_2 x_3) - y_1 y_3) - y_2 y_3, ((x_1 y_3 + x_2 y_3) + y_1 x_3) + y_2 x_3) \\
= {} & ((x_1 x_3 + x_2 x_3) + (-y_1 y_3 - y_2 y_3), (x_1 y_3 + x_2 y_3) + (y_1 x_3 + y_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 x_3 + x_2 x_3) - (y_1 y_3 + y_2 y_3), (x_1 y_3 + x_2 y_3) + (y_1 x_3 + y_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 + x_2) x_3 - (y_1 + y_2) y_3, (x_1 + x_2) y_3 + (y_1 + y_2) x_3) \\
= {} & (x_1 + x_2, y_1 + y_2) (x_3, y_3) \\
= {} & (z_1 + z_2) z_3
\end{aligned}
$$
我们看分配律的三个应用。
对任意复数 z ，必有 0z = 0 。
任取复数 z 。那么， 0z （也就是 0 \cdot z ） 也是复数。它有相反数 w 。根据 0 的定义， 0 = 0 + 0 。所以
\begin{aligned}
0
= {} & 0z + w \\
= {} & (0 + 0)z + w \\
= {} & (0z + 0z) + w \\
= {} & 0z + (0z + w) \\
= {} & 0z
\end{aligned}
当然，类似地， z0 = 0 。
对任意复数 z_1, z_2 ，必有 (-z_1) z_2 = -z_1 z_2 。
注： -z_1 z_2 意味着 -(z_1 z_2) 。
任取复数 z_1, z_2 。 -z_1 z_2 就是适合 z_1 z_2 + T = 0 的唯一复数 T 。因为
z_1 z_2 + (-z_1) z_2 = (z_1 + (-z_1)) z_2 = 0 \cdot z_2 = 0
故 T = (-z_1) z_2 。
当然，类似地， z_1 (-z_2) = -z_1 z_2 。
对任意复数 z_1, z_2, z_3 ，必有 (z_1 - z_2)z_3 = z_1 z_3 - z_2 z_3 。
任取复数 z_1, z_2, z_3 。则
\begin{aligned}
(z_1 - z_2) z_3
= {} & z_1 z_3 + (-z_2) z_3 \\
= {} & z_1 z_3 - z_2 z_3
\end{aligned}
当然，类似地， z_1 (z_2 - z_3) = z_1 z_2 - z_1 z_3 。
You could see the source code here.
我们看分配律的三个应用。
> 对任意复数 $z$ ，必有 $0z = 0$ 。
任取复数 $z$ 。那么， $0z$ （也就是 $0 \cdot z$ ） 也是复数。它有相反数 $w$ 。根据 $0$ 的定义， $0 = 0 + 0$ 。所以
$$
\begin{aligned}
0
= {} & 0z + w \\
= {} & (0 + 0)z + w \\
= {} & (0z + 0z) + w \\
= {} & 0z + (0z + w) \\
= {} & 0z
\end{aligned}
$$
当然，类似地， $z0 = 0$ 。
> 对任意复数 $z_1$, $z_2$ ，必有 $(-z_1) z_2 = -z_1 z_2$ 。
注： $-z_1 z_2$ 意味着 $-(z_1 z_2)$ 。
任取复数 $z_1$, $z_2$ 。 $-z_1 z_2$ 就是适合 $z_1 z_2 + T = 0$ 的唯一复数 $T$ 。因为
$$
z_1 z_2 + (-z_1) z_2 = (z_1 + (-z_1)) z_2 = 0 \cdot z_2 = 0
$$
故 $T = (-z_1) z_2$ 。
当然，类似地， $z_1 (-z_2) = -z_1 z_2$ 。
> 对任意复数 $z_1$, $z_2$, $z_3$ ，必有 $(z_1 - z_2)z_3 = z_1 z_3 - z_2 z_3$ 。
任取复数 $z_1$, $z_2$, $z_3$ 。则
$$
\begin{aligned}
(z_1 - z_2) z_3
= {} & z_1 z_3 + (-z_2) z_3 \\
= {} & z_1 z_3 - z_2 z_3
\end{aligned}
$$
当然，类似地， $z_1 (z_2 - z_3) = z_1 z_2 - z_1 z_3$ 。
前面，我们知道，复数的加法与乘法间有一座叫“分配律”的桥；现在，我们就来看看复数的乘法本身有什么性质。
设 z_1, z_2, z_3 为复数。复数的乘法适合如下性质：
- 交换律： z_1 z_2 = z_2 z_1 ；
- 结合律： (z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3) ；
- 幺：存在复数 U ，使对任意复数 z_1 ，都有 z_1 U = z_1 。
这些性质的论证也不难。我们证明稍繁的结合律；其馀的留给读者作练习。当然了，我们也给一个提示： (1,0) 就适合 z_1 \cdot (1,0) = z_1 （当然，具体的计算留给读者作练习）。
还有，这些性质也依赖实数的乘法的对应性质。具体地，设 a_1, a_2, a_3 是实数，则：
- 交换律： a_1 a_2 = a_2 a_1 ；
- 结合律： (a_1 a_2) a_3 = a_1 (a_2 a_3) ；
- 幺：存在实数 u ，使对任意实数 a_1 ，都有 a_1 u = a_1 （此 u 即 1 ）。
还有！因为复数的乘法的定义涉及加、减、乘，故证明复数的乘法的结合律时我们还要用到实数的分配律。
设
\begin{aligned}
& z_1 = (x_1, y_1), \\
& z_2 = (x_2, y_2), \\
& z_3 = (x_3, y_3)
\end{aligned}
不难算出
\begin{aligned}
& z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2), \\
& z_2 z_3 = (x_2 x_3 - y_2 y_3, x_2 y_3 + y_2 x_3)
\end{aligned}
所以
\begin{aligned}
& (z_1 z_2) z_3 \\
= {} & ((x_1 x_2 - y_1 y_2) x_3 - (x_1 y_2 + y_1 x_2) y_3, (x_1 x_2 - y_1 y_2) y_3 + (x_1 y_2 + y_1 x_2) x_3) \\
= {} & (((x_1 x_2) x_3 - (y_1 y_2) x_3) - ((x_1 y_2) y_3 + (y_1 x_2) y_3), ((x_1 x_2) y_3 - (y_1 y_2) y_3) + ((x_1 y_2) x_3 + (y_1 x_2) x_3)) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) - y_1 (y_2 x_3)) - (x_1 (y_2 y_3) + y_1 (x_2 y_3)), (x_1 (x_2 y_3) - y_1 (y_2 y_3)) + (x_1 (y_2 x_3) + y_1 (x_2 x_3))) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) - y_1 (y_2 x_3)) + (-x_1 (y_2 y_3) - y_1 (x_2 y_3)), (x_1 (x_2 y_3) - y_1 (y_2 y_3)) + (x_1 (y_2 x_3) + y_1 (x_2 x_3))) \\
= {} & (((x_1 (x_2 x_3) - y_1 (y_2 x_3)) -x_1 (y_2 y_3)) - y_1 (x_2 y_3), ((x_1 (x_2 y_3) - y_1 (y_2 y_3)) + x_1 (y_2 x_3)) + y_1 (x_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) +(- y_1 (y_2 x_3) -x_1 (y_2 y_3))) - y_1 (x_2 y_3), (x_1 (x_2 y_3) + (- y_1 (y_2 y_3) + x_1 (y_2 x_3))) + y_1 (x_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) +(-x_1 (y_2 y_3)) - y_1 (y_2 x_3)) - y_1 (x_2 y_3), (x_1 (x_2 y_3) + (x_1 (y_2 x_3) - y_1 (y_2 y_3))) + y_1 (x_2 x_3)) \\
= {} & (((x_1 (x_2 x_3) -x_1 (y_2 y_3)) - y_1 (y_2 x_3)) - y_1 (x_2 y_3), ((x_1 (x_2 y_3) + x_1 (y_2 x_3)) - y_1 (y_2 y_3)) + y_1 (x_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) -x_1 (y_2 y_3)) +(- y_1 (y_2 x_3) - y_1 (x_2 y_3)), (x_1 (x_2 y_3) + x_1 (y_2 x_3)) + (- y_1 (y_2 y_3) + y_1 (x_2 x_3))) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) -x_1 (y_2 y_3)) -(y_1 (x_2 y_3) + y_1 (y_2 x_3)), (x_1 (x_2 y_3) + x_1 (y_2 x_3)) + (y_1 (x_2 x_3) - y_1 (y_2 y_3))) \\
= {} & (x_1 (x_2 x_3 - y_2 y_3) -y_1 (x_2 y_3 + y_2 x_3), x_1 (x_2 y_3 + y_2 x_3) + y_1 (x_2 x_3 - y_2 y_3)) \\
= {} & z_1 (z_2 z_3)
\end{aligned}
You could see the source code here.
前面，我们知道，复数的加法与乘法间有一座叫“分配律”的桥；现在，我们就来看看复数的乘法本身有什么性质。
设 $z_1$, $z_2$, $z_3$ 为复数。复数的乘法适合如下性质：
> 0. 交换律： $z_1 z_2 = z_2 z_1$ ；
> 1. 结合律： $(z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)$ ；
> 2. 幺：存在复数 $U$ ，使对任意复数 $z_1$ ，都有 $z_1 U = z_1$ 。
这些性质的论证也不难。我们证明稍繁的结合律；其馀的留给读者作练习。当然了，我们也给一个提示： $(1,0)$ 就适合 $z_1 \cdot (1,0) = z_1$ （当然，具体的计算留给读者作练习）。
还有，这些性质也依赖实数的乘法的对应性质。具体地，设 $a_1$, $a_2$, $a_3$ 是实数，则：
> 0. 交换律： $a_1 a_2 = a_2 a_1$ ；
> 1. 结合律： $(a_1 a_2) a_3 = a_1 (a_2 a_3)$ ；
> 2. 幺：存在实数 $u$ ，使对任意实数 $a_1$ ，都有 $a_1 u = a_1$ （此 $u$ 即 $1$ ）。
还有！因为复数的乘法的定义涉及加、减、乘，故证明复数的乘法的结合律时我们还要用到实数的分配律。
---
设
$$
\begin{aligned}
& z_1 = (x_1, y_1), \\
& z_2 = (x_2, y_2), \\
& z_3 = (x_3, y_3)
\end{aligned}
$$
不难算出
$$
\begin{aligned}
& z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2), \\
& z_2 z_3 = (x_2 x_3 - y_2 y_3, x_2 y_3 + y_2 x_3)
\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
& (z_1 z_2) z_3 \\
= {} & ((x_1 x_2 - y_1 y_2) x_3 - (x_1 y_2 + y_1 x_2) y_3, (x_1 x_2 - y_1 y_2) y_3 + (x_1 y_2 + y_1 x_2) x_3) \\
= {} & (((x_1 x_2) x_3 - (y_1 y_2) x_3) - ((x_1 y_2) y_3 + (y_1 x_2) y_3), ((x_1 x_2) y_3 - (y_1 y_2) y_3) + ((x_1 y_2) x_3 + (y_1 x_2) x_3)) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) - y_1 (y_2 x_3)) - (x_1 (y_2 y_3) + y_1 (x_2 y_3)), (x_1 (x_2 y_3) - y_1 (y_2 y_3)) + (x_1 (y_2 x_3) + y_1 (x_2 x_3))) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) - y_1 (y_2 x_3)) + (-x_1 (y_2 y_3) - y_1 (x_2 y_3)), (x_1 (x_2 y_3) - y_1 (y_2 y_3)) + (x_1 (y_2 x_3) + y_1 (x_2 x_3))) \\
= {} & (((x_1 (x_2 x_3) - y_1 (y_2 x_3)) -x_1 (y_2 y_3)) - y_1 (x_2 y_3), ((x_1 (x_2 y_3) - y_1 (y_2 y_3)) + x_1 (y_2 x_3)) + y_1 (x_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) +(- y_1 (y_2 x_3) -x_1 (y_2 y_3))) - y_1 (x_2 y_3), (x_1 (x_2 y_3) + (- y_1 (y_2 y_3) + x_1 (y_2 x_3))) + y_1 (x_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) +(-x_1 (y_2 y_3)) - y_1 (y_2 x_3)) - y_1 (x_2 y_3), (x_1 (x_2 y_3) + (x_1 (y_2 x_3) - y_1 (y_2 y_3))) + y_1 (x_2 x_3)) \\
= {} & (((x_1 (x_2 x_3) -x_1 (y_2 y_3)) - y_1 (y_2 x_3)) - y_1 (x_2 y_3), ((x_1 (x_2 y_3) + x_1 (y_2 x_3)) - y_1 (y_2 y_3)) + y_1 (x_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) -x_1 (y_2 y_3)) +(- y_1 (y_2 x_3) - y_1 (x_2 y_3)), (x_1 (x_2 y_3) + x_1 (y_2 x_3)) + (- y_1 (y_2 y_3) + y_1 (x_2 x_3))) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) -x_1 (y_2 y_3)) -(y_1 (x_2 y_3) + y_1 (y_2 x_3)), (x_1 (x_2 y_3) + x_1 (y_2 x_3)) + (y_1 (x_2 x_3) - y_1 (y_2 y_3))) \\
= {} & (x_1 (x_2 x_3 - y_2 y_3) -y_1 (x_2 y_3 + y_2 x_3), x_1 (x_2 y_3 + y_2 x_3) + y_1 (x_2 x_3 - y_2 y_3)) \\
= {} & z_1 (z_2 z_3)
\end{aligned}
$$
I am dazzled. Let me take a break. See you tomorrow.
嗯。的确——目前涉及到的加法与乘法都是分开了实部与虚部。
的确——一开始是这样，比方说二数的和为 10，积为 40，那么这二个数是 5 \pm \sqrt{-15} 。
的确，它在生活中用得不多（我就不清楚工业了）。
“蟒蛇” natively 支持复数的表达（我不会译 natively 为汉语）： z = 1 + 2j 就作出了复数 (1,2) （或者， 1 + 2\mathrm{i} ）并将其写入变量 z。
我就不太了解“爪哇剧本”或“丙”了。
我们再补充几点。
0. 复数里，至多有一个幺。具体地，若存在复数 U_1 与 U_2 适合“对任意复数 z ，都有 zU_1 = z 与 zU_2 = z ”，则 U_1 = U_2 。这是因为
\begin{aligned}
U_1
= {} & U_1 U_2 \\
= {} & U_2 U_1 \\
= {} & U_2
\end{aligned}
由此可知，复数里，恰有一个幺。具体地，恰存在一个复数 U = (1,0) ，使对任意复数 z ， zU = z 。以后，我们就简单地写 (1,0) 为 1 。表面地，这么做会使其跟实数的 1 混淆，实则并不会——我们还没有定义实数乘以复数（或复数乘以实数）是什么。
1. 因为结合律，我们可以不区分 (z_1 z_2) z_3 与 z_1 (z_2 z_3) ，而用不带括号的 z_1 z_2 z_3 表示它们。
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我们再补充几点。
0\. 复数里，至多有一个幺。具体地，若存在复数 $U_1$ 与 $U_2$ 适合“对任意复数 $z$ ，都有 $zU_1 = z$ 与 $zU_2 = z$ ”，则 $U_1 = U_2$ 。这是因为
$$
\begin{aligned}
U_1
= {} & U_1 U_2 \\
= {} & U_2 U_1 \\
= {} & U_2
\end{aligned}
$$
由此可知，复数里，恰有一个幺。具体地，恰存在一个复数 $U = (1,0)$ ，使对任意复数 $z$ ， $zU = z$ 。以后，我们就简单地写 $(1,0)$ 为 $1$ 。表面地，这么做会使其跟实数的 $1$ 混淆，实则并不会——我们还没有定义实数乘以复数（或复数乘以实数）是什么。
1\. 因为结合律，我们可以不区分 $(z_1 z_2) z_3$ 与 $z_1 (z_2 z_3)$ ，而用不带括号的 $z_1 z_2 z_3$ 表示它们。
现在我们讨论一个稍复杂的问题。
我们知道，存在实数 0 ，使对任意实数 a ，都有 a + 0 = a 。类似地，存在实数 1 ，使对任意实数 a ，都有 a \cdot 1 = a 。
我们也知道，对任意实数 a ，存在实数 b 使 a + b = 0 。不过，存在实数 n ，使对任意实数 c ，都有 nc \neq 1 。
这是加法与乘法的一个小区别。不是每个实数都有倒数——具体地，不是每个实数 a 都能找到一个 c 使 ac = 1 。比方说， 0 就不行——因为 0 与任意实数的积是 0 ，而 0 \neq 1 。
幸运地，每个非零的实数都有倒数——具体地，就是
任给非零实数 a ，存在实数 c 使 ac = 1 。这样的 c 叫 a 的倒数。
我们在复数里讨论类似的问题。
定义：设 z 是复数。若存在复数 w 使 zw = 1 ，则 w 是 z 的一个倒数。
首先，复数 0 无倒数——我们用分配律证明了， 0 与任意复数的积是 0 ，而 0 \neq 1 （读者可自行验证 (0,0) \neq (1,0) ）。
接下来，我们说明：若 z \neq 0 ，则 z 至少有一个倒数。
这不难。设 z = (x,y) 。既然 z \neq 0 ，那么 x^2 + y^2 \neq 0 。所以， p = \frac{x}{x^2 + y^2} 与 q = \frac{-y}{x^2 + y^2} 都是实数。所以， w = (p,q) 是复数。我们计算 z 与 w 的积：
\begin{aligned}
& xp - yq = \frac{x^2}{x^2 + y^2} - \frac{-y^2}{x^2 + y^2} = 1, \\
& xq + yp = \frac{-xy}{x^2 + y^2} + \frac{yx}{x^2 + y^2} = 0, \\
& zw = (xp - yq, xq + yp) = (1, 0) = 1
\end{aligned}
所以 z 的确有倒数。
由此可知
设 z 为复数。若 z = 0 ，则 z 无倒数；若 z \neq 0 ，则 z 有倒数。
You could see the source code here.
现在我们讨论一个稍复杂的问题。
我们知道，存在实数 $0$ ，使对任意实数 $a$ ，都有 $a + 0 = a$ 。类似地，存在实数 $1$ ，使对任意实数 $a$ ，都有 $a \cdot 1 = a$ 。
我们也知道，对任意实数 $a$ ，存在实数 $b$ 使 $a + b = 0$ 。不过，存在实数 $n$ ，使对任意实数 $c$ ，都有 $nc \neq 1$ 。
这是加法与乘法的一个小区别。不是每个实数都有倒数——具体地，不是每个实数 $a$ 都能找到一个 $c$ 使 $ac = 1$ 。比方说， $0$ 就不行——因为 $0$ 与任意实数的积是 $0$ ，而 $0 \neq 1$ 。
幸运地，每个非零的实数都有倒数——具体地，就是
> 任给非零实数 $a$ ，存在实数 $c$ 使 $ac = 1$ 。这样的 $c$ 叫 $a$ 的倒数。
---
我们在复数里讨论类似的问题。
定义：设 $z$ 是复数。若存在复数 $w$ 使 $zw = 1$ ，则 $w$ 是 $z$ 的一个倒数。
首先，复数 $0$ 无倒数——我们用分配律证明了， $0$ 与任意复数的积是 $0$ ，而 $0 \neq 1$ （读者可自行验证 $(0,0) \neq (1,0)$ ）。
接下来，我们说明：若 $z \neq 0$ ，则 $z$ 至少有一个倒数。
这不难。设 $z = (x,y)$ 。既然 $z \neq 0$ ，那么 $x^2 + y^2 \neq 0$ 。所以， $p = \frac{x}{x^2 + y^2}$ 与 $q = \frac{-y}{x^2 + y^2}$ 都是实数。所以， $w = (p,q)$ 是复数。我们计算 $z$ 与 $w$ 的积：
$$
\begin{aligned}
& xp - yq = \frac{x^2}{x^2 + y^2} - \frac{-y^2}{x^2 + y^2} = 1, \\
& xq + yp = \frac{-xy}{x^2 + y^2} + \frac{yx}{x^2 + y^2} = 0, \\
& zw = (xp - yq, xq + yp) = (1, 0) = 1
\end{aligned}
$$
所以 $z$ 的确有倒数。
由此可知
> 设 $z$ 为复数。若 $z = 0$ ，则 $z$ 无倒数；若 $z \neq 0$ ，则 $z$ 有倒数。
我们再补充几点。
2. 非零复数的倒数也不是零。具体地，设复数 z \neq 0 。我们知道，存在 w 使 zw = 1 。我们要说明 w \neq 0 。这很容易。反设 w = 0 ，则
zw = z \cdot 0 = 0 \neq 1
这是矛盾。所以， w 也不是零。
3. 每个非零复数至多有一个倒数。具体地，设复数 z \neq 0 。若存在二个复数 w 与 w' 使 zw = 1 且 zw' = 1 ，则 w = w' 。这是因为
\begin{aligned}
w
= {} & w \cdot 1 \\
= {} & w (zw') \\
= {} & (wz) w' \\
= {} & (zw) w' \\
= {} & 1 \cdot w' \\
= {} & w' \cdot 1 \\
= {} & w'
\end{aligned}
由此可知，每个非零复数恰有一个倒数。具体地，设 z = (x, y) \neq 0 。恰存在一个复数 w = \left( \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{-y}{x^2+y^2} \right) 使 zw = 1 。以后，我们就叫适合此性质的 w 为 z^{-1} 。
4. 有了倒数，我们就可以定义除法。设 z_1, z_2 是二个复数，且 z_2 \neq 0 。定义
\frac{z_1}{z_2} = z_1 z_2^{-1}
由此可知：二个复数的商还是复数（当然了，除数 z_2 不可为零）；若复数 z_1, z_2, z_3, z_4 适合 z_2 \neq 0, z_4 \neq 0, z_1 = z_3, z_2 = z_4, 则 \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_3}{z_4} 。（我们利用复数的乘法的结果就可以证明。这些论断就留给读者作练习吧。）
5. 一个非零数的倒数的倒数是自身。具体地，设 z \neq 0 。再设 w = z^{-1} 。那么 w \neq 0 。按照定义， w^{-1} 就是适合 wT = 1 的唯一复数 T 。因为
\begin{aligned}
wz = zw = zz^{-1} = 1
\end{aligned}
故 T = z 。
6. 设 z_1, z_2 都是非零复数。则 z_1 z_2 \neq 0 ，且 (z_1 z_2)^{-1} = z_1^{-1} z_2^{-1} 。
设 w = z_1 z_2 。我们先说明 w \neq 0 。反设 w = 0 。那么 z_1 z_2 = 0 。因为 z_2 \neq 0 ，故 z_2 有倒数 z_2^{-1} 。所以
(z_1 z_2) z_2^{-1} = 0 z_2^{-1}
也就是
z_1 (z_2 z_2^{-1}) = 0
故
z_1 = z_1 \cdot 1 = 0
这与假定 z_1 \neq 0 矛盾！所以， w \neq 0 。既然 w \neq 0 ，那么 w^{-1} 就是适合 wT = 1 的唯一复数 T 。因为
\begin{aligned}
w (z_1^{-1} z_2^{-1})
= {} & (z_1 z_2) (z_1^{-1} z_2^{-1}) \\
= {} & (z_2 z_1) (z_1^{-1} z_2^{-1}) \\
= {} & ((z_2 z_1) z_1^{-1}) z_2^{-1} \\
= {} & (z_2 (z_1 z_1^{-1})) z_2^{-1} \\
= {} & (z_2 \cdot 1) z_2^{-1} \\
= {} & z_2 z_2^{-1} \\
= {} & 1
\end{aligned}
故 T = z_1^{-1} z_2^{-1} 。
You could see the source code here.
我们再补充几点。
2\. 非零复数的倒数也不是零。具体地，设复数 $z \neq 0$ 。我们知道，存在 $w$ 使 $zw = 1$ 。我们要说明 $w \neq 0$ 。这很容易。反设 $w = 0$ ，则
$$
zw = z \cdot 0 = 0 \neq 1
$$
这是矛盾。所以， $w$ 也不是零。
3\. 每个非零复数至多有一个倒数。具体地，设复数 $z \neq 0$ 。若存在二个复数 $w$ 与 $w'$ 使 $zw = 1$ 且 $zw' = 1$ ，则 $w = w'$ 。这是因为
$$
\begin{aligned}
w
= {} & w \cdot 1 \\
= {} & w (zw') \\
= {} & (wz) w' \\
= {} & (zw) w' \\
= {} & 1 \cdot w' \\
= {} & w' \cdot 1 \\
= {} & w'
\end{aligned}
$$
由此可知，每个非零复数恰有一个倒数。具体地，设 $z = (x, y) \neq 0$ 。恰存在一个复数 $w = \left( \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{-y}{x^2+y^2} \right)$ 使 $zw = 1$ 。以后，我们就叫适合此性质的 $w$ 为 $z^{-1}$ 。
4\. 有了倒数，我们就可以定义除法。设 $z_1$, $z_2$ 是二个复数，且 $z_2 \neq 0$ 。定义
$$
\frac{z_1}{z_2} = z_1 z_2^{-1}
$$
由此可知：二个复数的商还是复数（当然了，除数 $z_2$ 不可为零）；若复数 $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$ 适合 $z_2 \neq 0$, $z_4 \neq 0$, $z_1 = z_3$, $z_2 = z_4$, 则 $\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_3}{z_4}$ 。（我们利用复数的乘法的结果就可以证明。这些论断就留给读者作练习吧。）
5\. 一个非零数的倒数的倒数是自身。具体地，设 $z \neq 0$ 。再设 $w = z^{-1}$ 。那么 $w \neq 0$ 。按照定义， $w^{-1}$ 就是适合 $wT = 1$ 的唯一复数 $T$ 。因为
$$
\begin{aligned}
wz = zw = zz^{-1} = 1
\end{aligned}
$$
故 $T = z$ 。
6\. 设 $z_1$, $z_2$ 都是非零复数。则 $z_1 z_2 \neq 0$ ，且 $(z_1 z_2)^{-1} = z_1^{-1} z_2^{-1}$ 。
设 $w = z_1 z_2$ 。我们先说明 $w \neq 0$ 。反设 $w = 0$ 。那么 $z_1 z_2 = 0$ 。因为 $z_2 \neq 0$ ，故 $z_2$ 有倒数 $z_2^{-1}$ 。所以
$$
(z_1 z_2) z_2^{-1} = 0 z_2^{-1}
$$
也就是
$$
z_1 (z_2 z_2^{-1}) = 0
$$
故
$$
z_1 = z_1 \cdot 1 = 0
$$
这与假定 $z_1 \neq 0$ 矛盾！所以， $w \neq 0$ 。既然 $w \neq 0$ ，那么 $w^{-1}$ 就是适合 $wT = 1$ 的唯一复数 $T$ 。因为
$$
\begin{aligned}
w (z_1^{-1} z_2^{-1})
= {} & (z_1 z_2) (z_1^{-1} z_2^{-1}) \\
= {} & (z_2 z_1) (z_1^{-1} z_2^{-1}) \\
= {} & ((z_2 z_1) z_1^{-1}) z_2^{-1} \\
= {} & (z_2 (z_1 z_1^{-1})) z_2^{-1} \\
= {} & (z_2 \cdot 1) z_2^{-1} \\
= {} & z_2 z_2^{-1} \\
= {} & 1
\end{aligned}
$$
故 $T = z_1^{-1} z_2^{-1}$ 。
Typing Chinese is really a pain. The IM often stops responding; moreover, the Discourse math plugin seems a little presumptuous.
故 $T = z_1^{-1} z_2^{-1}$ 。
故 T = z_1^{-1} z_2^{-1} 。
故 $T = z_1^{-1} z_2^{-1}$。
故 T = z_1^{-1} z_2^{-1}。
Well, if I do not insert a space before Chinese punctuation marks, the formula surrounded by two dollar signs ($) will not be parsed correctly.
I cannot fix it, because I cannot control the plugin.
I do not know what to do to fix my IM. However, that does not really bother me, since at least the Chinese IM in one of my VMs functions normally.
Most users of Appinn Forum do not type formulae, so the “feature” does not bother them.
Few people bother to read something on math on an application forum.
I cannot see any rule which forbids the usage of English.
Taking these things into consideration, I decide to present the remaining materials in English. My English is poor, though.
Powers
Definition. Suppose that z is a complex number, and that n is a nonnegative integer. Define
z^n = \begin{cases}
1, & \quad \text{if $n = 0$;} \\
z \cdot z^{n-1}, & \quad \text{else.}
\end{cases}
Example. Take z = (1,2). Then
z^2 = (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2, 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1) = (-3,4)
Example. Call \mathrm{i} = (0,1). Then
\mathrm{i}^0 = (1,0), \quad \mathrm{i}^1 = (0,1), \quad \mathrm{i}^2 = (-1,0), \quad \mathrm{i}^3 = (0,-1), \quad \mathrm{i}^4 = (1,0).
The verification is left as an exercise for readers. As a challenge, readers are invited to write a formula for \mathrm{i}^n, where n is a nonnegative integer.
Propositions. Suppose that z, w are complex numbers. Suppose that m, n are nonnegative integers. The following equalities hold:
- z^m z^n = z^{m+n};
- (z^m)^n = z^{mn};
- z^m w^m = (zw)^m.
You could see the source code here.
## Powers
**Definition.** Suppose that $z$ is a complex number, and that $n$ is a nonnegative integer. Define
$$
z^n = \begin{cases}
1, & \quad \text{if $n = 0$;} \\
z \cdot z^{n-1}, & \quad \text{else.}
\end{cases}
$$
**Example.** Take $z = (1,2)$. Then
$$
z^2 = (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2, 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1) = (-3,4)
$$
**Example.** Call $\mathrm{i} = (0,1)$. Then
$$
\mathrm{i}^0 = (1,0), \quad \mathrm{i}^1 = (0,1), \quad \mathrm{i}^2 = (-1,0), \quad \mathrm{i}^3 = (0,-1), \quad \mathrm{i}^4 = (1,0).
$$
The verification is left as an exercise for readers. As a challenge, readers are invited to write a formula for $\mathrm{i}^n$, where $n$ is a nonnegative integer.
> **Propositions.** Suppose that $z$, $w$ are complex numbers. Suppose that $m$, $n$ are nonnegative integers. The following equalities hold:
>
> 0. $z^m z^n = z^{m+n}$;
> 1. $(z^m)^n = z^{mn}$;
> 2. $z^m w^m = (zw)^m$.
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