我曾在这里说，我会在之后的贴子里介绍复数。现在，复数介绍贴就来了。
假定读者熟悉实数的运算（初中算学的水平即可）。
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定义：设 x, y 是实数。复数就是形如 (x,y) 的符号。
注：以后，我们说“复数 (x,y) ”时， x 与 y 自动地被理解为实数。
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定义：设 $x$, $y$ 是实数。复数就是形如 $(x,y)$ 的符号。
注：以后，我们说“复数 $(x,y)$ ”时， $x$ 与 $y$ 自动地被理解为实数。
定义：设 z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2) 是二个复数。 z_1 与 z_2 相等就是指 x_1 = x_2 与 y_1 = y_2 。用符号表示此事，就是 z_1 = z_2 。
例： (1,2) 与 (0+1, \sqrt{4}) 是相等的二个复数。
例： (x,y) 与 (0,0) 相等的一个必要与充分条件是 x=y=0 。
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定义：设 $z_1 = (x_1, y_1)$, $z_2 = (x_2, y_2)$ 是二个复数。 $z_1$ 与 $z_2$ 相等就是指 $x_1 = x_2$ 与 $y_1 = y_2$ 。用符号表示此事，就是 $z_1 = z_2$ 。
例： $(1,2)$ 与 $(0+1, \sqrt{4})$ 是相等的二个复数。
例： $(x,y)$ 与 $(0,0)$ 相等的一个必要与充分条件是 $x=y=0$ 。
复数的相等适合如下三律。具体地，设 z_1, z_2, z_3 是三个复数。则：
- 反射律： z_1 = z_1 ；
- 对称律： 若 z_1 = z_2 ，则 z_2 = z_1 ；
- 推移律： 若 z_1 = z_2 且 z_2 = z_3 ，则 z_1 = z_3 。
我们证明稍复杂的推移律，并将其馀二律留给读者作练习。
注：复数的相等三律依赖实数的相等三律。具体地，设 a_1, a_2, a_3 是三个实数。则：
- 反射律： a_1 = a_1 ；
- 对称律： 若 a_1 = a_2 ，则 a_2 = a_1 ；
- 推移律： 若 a_1 = a_2 且 a_2 = a_3 ，则 a_1 = a_3 。
设
\begin{aligned}
& z_1 = (x_1, y_1), \\
& z_2 = (x_2, y_2), \\
& z_3 = (x_3, y_3)
\end{aligned}
由 z_1 = z_2 ，知
x_1 = x_2 \qquad \text{and} \qquad y_1 = y_2
由 z_2 = z_3 ，知
x_2 = x_3 \qquad \text{and} \qquad y_2 = y_3
因为 x_1 = x_2 且 x_2 = x_3 ，故 x_1 = x_3 ；因为 y_1 = y_2 且 y_2 = y_3 ，故 y_1 = y_3 。所以， z_1 = z_3 。
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复数的相等适合如下三律。具体地，设 $z_1$, $z_2$, $z_3$ 是三个复数。则：
- 反射律： $z_1 = z_1$ ；
- 对称律： 若 $z_1 = z_2$ ，则 $z_2 = z_1$ ；
- 推移律： 若 $z_1 = z_2$ 且 $z_2 = z_3$ ，则 $z_1 = z_3$ 。
我们证明稍复杂的推移律，并将其馀二律留给读者作练习。
注：复数的相等三律依赖实数的相等三律。具体地，设 $a_1$, $a_2$, $a_3$ 是三个实数。则：
- 反射律： $a_1 = a_1$ ；
- 对称律： 若 $a_1 = a_2$ ，则 $a_2 = a_1$ ；
- 推移律： 若 $a_1 = a_2$ 且 $a_2 = a_3$ ，则 $a_1 = a_3$ 。
---
设
$$
\begin{aligned}
& z_1 = (x_1, y_1), \\
& z_2 = (x_2, y_2), \\
& z_3 = (x_3, y_3)
\end{aligned}
$$
由 $z_1 = z_2$ ，知
$$
x_1 = x_2 \qquad \text{and} \qquad y_1 = y_2
$$
由 $z_2 = z_3$ ，知
$$
x_2 = x_3 \qquad \text{and} \qquad y_2 = y_3
$$
因为 $x_1 = x_2$ 且 $x_2 = x_3$ ，故 $x_1 = x_3$ ；因为 $y_1 = y_2$ 且 $y_2 = y_3$ ，故 $y_1 = y_3$ 。所以， $z_1 = z_3$ 。
我们介绍二个有用的命题。
设 x, y 是实数。 x = y = 0 的一个必要与充分条件是 x^2 + y^2 = 0 。
先证必要性。假定 x^2 + y^2 = 0 。我们要由此推出 x = y = 0 。
这需要实数的一个重要性质：对任意非零实数 a ， a^2 > 0 。所以，对任意实数 b ， b^2 \geq 0 。
现在，可以考虑反证法。假设 x \neq 0 。这样， x^2 > 0 。不难看出， y^2 \geq 0 。所以， x^2 + y^2 \geq x^2 > 0 。这跟 x^2 + y^2 = 0 矛盾！故 x = 0 。所以， y^2 = 0 。所以 y = 0 。
再证充分性。假定 x = y = 0 。我们要由此推出 x^2 + y^2 = 0 。
这个十分简单： x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0 + 0 = 0 。
设复数 z = (x, y) 。 z = (0, 0) 的一个必要与充分条件是 x^2 + y^2 = 0 ； z \neq (0, 0) 的一个必要与充分条件是 x^2 + y^2 \neq 0 。
注： z_1 \neq z_2 就是“ z_1 = z_2 ”的否定。具体地说，设 z_1 = (x_1, y_2), z_2 = (x_2, y_2) 。 z_1 \neq z_2 的意思是： x_1 \neq x_2 或 y_1 \neq y_2 。
这就留给读者作习题吧。
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我们介绍二个有用的命题。
> 设 $x$, $y$ 是实数。 $x = y = 0$ 的一个必要与充分条件是 $x^2 + y^2 = 0$ 。
先证必要性。假定 $x^2 + y^2 = 0$ 。我们要由此推出 $x = y = 0$ 。
这需要实数的一个重要性质：对任意非零实数 $a$ ， $a^2 > 0$ 。所以，对任意实数 $b$ ， $b^2 \geq 0$ 。
现在，可以考虑反证法。假设 $x \neq 0$ 。这样， $x^2 > 0$ 。不难看出， $y^2 \geq 0$ 。所以， $x^2 + y^2 \geq x^2 > 0$ 。这跟 $x^2 + y^2 = 0$ 矛盾！故 $x = 0$ 。所以， $y^2 = 0$ 。所以 $y = 0$ 。
再证充分性。假定 $x = y = 0$ 。我们要由此推出 $x^2 + y^2 = 0$ 。
这个十分简单： $x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0 + 0 = 0$ 。
---
> 设复数 $z = (x, y)$ 。 $z = (0, 0)$ 的一个必要与充分条件是 $x^2 + y^2 = 0$ ； $z \neq (0, 0)$ 的一个必要与充分条件是 $x^2 + y^2 \neq 0$ 。
注： $z_1 \neq z_2$ 就是“ $z_1 = z_2$ ”的否定。具体地说，设 $z_1 = (x_1, y_2)$, $z_2 = (x_2, y_2)$ 。 $z_1 \neq z_2$ 的意思是： $x_1 \neq x_2$ 或 $y_1 \neq y_2$ 。
这就留给读者作习题吧。
现在我们引入复数的加法运算。
定义：设 z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2) 。则 z_1 与 z_2 的和
z_1 + z_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
因为二个实数的和还是实数，所以二个复数的和是复数。并且，若 z_1 = z_3 且 z_2 = z_4 ，则 z_1 + z_2 = z_3 + z_4 。（请读者自行用复数的相等与复数的加法的定义证明它。读者可能需要这个命题：“设 a_1, a_2, a_3, a_4 是实数。若 a_1 = a_3 且 a_2 = a_4 ，则 a_1 + a_2 = a_3 + a_4 。”）
例： 设 z = (1,2) 且 w = (-2,1) 。则
z + w = (1 + (-2), 2 + 1) = (-1,3)
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现在我们引入复数的加法运算。
定义：设 $z_1 = (x_1, y_1)$, $z_2 = (x_2, y_2)$ 。则 $z_1$ 与 $z_2$ 的和
$$
z_1 + z_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
$$
因为二个实数的和还是实数，所以二个复数的和是复数。并且，若 $z_1 = z_3$ 且 $z_2 = z_4$ ，则 $z_1 + z_2 = z_3 + z_4$ 。（请读者自行用复数的相等与复数的加法的定义证明它。读者可能需要这个命题：“设 $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ 是实数。若 $a_1 = a_3$ 且 $a_2 = a_4$ ，则 $a_1 + a_2 = a_3 + a_4$ 。”）
例： 设 $z = (1,2)$ 且 $w = (-2,1)$ 。则
$$
z + w = (1 + (-2), 2 + 1) = (-1,3)
$$
歐拉公式把e，派，-i結合在了一起。
e^{-i}=\pi
試一下公式，同時，這個歐拉公式我不一定記的對。
由恒等式 \mathrm{e}^{\mathrm{i} t} = \cos t + \mathrm{i} \sin t 可知
\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi} = \cos \pi + \mathrm{i} \sin \pi = -1
这里 \pi 是圆的周长与其直径的比。
$$
\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi} = \cos \pi + \mathrm{i} \sin \pi = -1
$$
复数的加法适合如下性质。具体地，设 z_1, z_2, z_3 是（任意的）复数，则：
- 交换律： z_1 + z_2 = z_2 + z_1 ；
- 结合律： (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) ；
- 零：存在复数 N ，使对任意复数 z_1 ，都有 z_1 + N = z_1 ；
- 相反数：对任意复数 z_1 ，存在复数 w_1 ，使 z_1 + w_1 = N 。
这些性质的论证很简单。不过，这些性质依赖实数的加法的对应性质。具体地，设 a_1, a_2, a_3 是（任意的）实数，则：
- 交换律： a_1 + a_2 = a_2 + a_1 ；
- 结合律： (a_1 + a_2) + a_3 = a_1 + (a_2 + a_3) ；
- 零：存在实数 n ，使对任意实数 a_1 ，都有 a_1 + n = a_1 （此 n 即 0 ）；
- 相反数：对任意实数 a_1 ，存在实数 b_1 ，使 a_1 + b_1 = n （此 b_1 即 -a_1 ）。
设
\begin{aligned}
& z_1 = (x_1, y_1), \\
& z_2 = (x_2, y_2), \\
& z_3 = (x_3, y_3)
\end{aligned}
0. 按加法的定义
\begin{aligned}
& z_1 + z_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2), \\
& z_2 + z_1 = (x_2 + x_1, y_2 + y_1)
\end{aligned}
因为 x_1 + x_2 = x_2 + x_1 且 y_1 + y_2 = y_2 + y_1 ，故 z_1 + z_2 = z_2 + z_1 。
1. 按加法的定义
\begin{aligned}
& (z_1 + z_2) + z_3 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) + (x_3, y_3) = ((x_1 + x_2) + x_3, (y_1 + y_2) + y_3), \\
& z_1 + (z_2 + z_3) = (x_1, y_1) + (x_2 + x_3, y_2 + y_3) = (x_1 + (x_2 + x_3), y_1 + (y_2 + y_3))
\end{aligned}
因为 (x_1 + x_2) + x_3 = x_1 + (x_2 + x_3) 且 (y_1 + y_2) + y_3 = y_1 + (y_2 + y_3) ，故 (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) 。
2. 取 N = (0,0) 。则
z_1 + N = (x_1 + 0, y_1 + 0) = (x_1, y_1) = z_1
3. 取 w_1 = (-x_1,-y_1) 。则
z_1 + w_1 = (x_1 + (-x_1), y_1 + (-y_1)) = (0, 0) = N
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复数的加法适合如下性质。具体地，设 $z_1$, $z_2$, $z_3$ 是（任意的）复数，则：
> 0. 交换律： $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$ ；
> 1. 结合律： $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$ ；
> 2. 零：存在复数 $N$ ，使对任意复数 $z_1$ ，都有 $z_1 + N = z_1$ ；
> 3. 相反数：对任意复数 $z_1$ ，存在复数 $w_1$ ，使 $z_1 + w_1 = N$ 。
这些性质的论证很简单。不过，这些性质依赖实数的加法的对应性质。具体地，设 $a_1$, $a_2$, $a_3$ 是（任意的）实数，则：
> 0. 交换律： $a_1 + a_2 = a_2 + a_1$ ；
> 1. 结合律： $(a_1 + a_2) + a_3 = a_1 + (a_2 + a_3)$ ；
> 2. 零：存在实数 $n$ ，使对任意实数 $a_1$ ，都有 $a_1 + n = a_1$ （此 $n$ 即 $0$ ）；
> 3. 相反数：对任意实数 $a_1$ ，存在实数 $b_1$ ，使 $a_1 + b_1 = n$ （此 $b_1$ 即 $-a_1$ ）。
---
设
$$
\begin{aligned}
& z_1 = (x_1, y_1), \\
& z_2 = (x_2, y_2), \\
& z_3 = (x_3, y_3)
\end{aligned}
$$
0\. 按加法的定义
$$
\begin{aligned}
& z_1 + z_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2), \\
& z_2 + z_1 = (x_2 + x_1, y_2 + y_1)
\end{aligned}
$$
因为 $x_1 + x_2 = x_2 + x_1$ 且 $y_1 + y_2 = y_2 + y_1$ ，故 $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$ 。
1\. 按加法的定义
$$
\begin{aligned}
& (z_1 + z_2) + z_3 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) + (x_3, y_3) = ((x_1 + x_2) + x_3, (y_1 + y_2) + y_3), \\
& z_1 + (z_2 + z_3) = (x_1, y_1) + (x_2 + x_3, y_2 + y_3) = (x_1 + (x_2 + x_3), y_1 + (y_2 + y_3))
\end{aligned}
$$
因为 $(x_1 + x_2) + x_3 = x_1 + (x_2 + x_3)$ 且 $(y_1 + y_2) + y_3 = y_1 + (y_2 + y_3)$ ，故 $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$ 。
2\. 取 $N = (0,0)$ 。则
$$
z_1 + N = (x_1 + 0, y_1 + 0) = (x_1, y_1) = z_1
$$
3\. 取 $w_1 = (-x_1,-y_1)$ 。则
$$
z_1 + w_1 = (x_1 + (-x_1), y_1 + (-y_1)) = (0, 0) = N
$$
我们再补充几点。
0. 复数里，至多有一个零。具体地，若存在复数 N_1 与 N_2 适合“对任意复数 z ，都有 z + N_1 = z 与 z + N_2 = z ”，则 N_1 = N_2 。这是因为
\begin{aligned}
N_1
= {} & N_1 + N_2 \\
= {} & N_2 + N_1 \\
= {} & N_2
\end{aligned}
由此可知，复数里，恰有一个零。具体地，恰存在一个复数 N = (0,0) ，使对任意复数 z ， z + N = z 。以后，我们就简单地写 (0,0) 为 0 。表面地，这么做会使其跟实数的 0 混淆，实则并不会——我们还没有定义实数加复数（或复数加实数）是什么。在蟒蛇里， \mathtt{\text{"0"} + 0} （默认）就是无意义的表达式。
1. 每个复数至多有一个相反数。具体地，任取复数 z 。若存在二个复数 w 与 w' 使 z + w = 0 且 z + w' = 0 ，则 w = w' 。这是因为
\begin{aligned}
w
= {} & w + 0 \\
= {} & w + (z + w') \\
= {} & (w + z) + w' \\
= {} & (z + w) + w' \\
= {} & 0 + w' \\
= {} & w' + 0 \\
= {} & w'
\end{aligned}
由此可知，每个复数恰有一个相反数。具体地，设 z = (x,y) 。恰存在一个复数 w = (-x,-y) 使 z + w = 0 。以后，我们就叫适合此性质的 w 为 -z 。
2. 有了相反数，我们就可以定义减法。设 z_1, z_2 是二个复数。定义
z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2)
由此可知：二个复数的差还是复数；若复数 z_1, z_2, z_3, z_4 适合 z_1 = z_3 与 z_2 = z_4 ，则 z_1 - z_2 = z_3 - z_4 。（我们用复数的加法的结果就可以证明。具体地说，因为 z_2 是复数，故 -z_2 也是，从而 z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2) 是复数。类似地，读者也可证明后一个论断。）
3. 一个数的相反数的相反数是自身。具体地，设 z 是复数。再设 w = -z 。那么 -w = z 。
按照定义， -w 就是适合 w + T = 0 的唯一复数 T 。因为
w + z = z + w = z + (-z) = 0
故 T = z 。
4. 设 z_1, z_2 是复数。则 -(z_1 + z_2) = -z_1 - z_2 。设 w = z_1 + z_2 。 -w 就是适合 w + T = 0 的唯一复数 T 。因为
\begin{aligned}
w + (-z_1 - z_2)
= {} & (z_1 + z_2) + ((-z_1) + (-z_2)) \\
= {} & (z_2 + z_1) + ((-z_1) + (-z_2)) \\
= {} & ((z_2 + z_1) + (-z_1)) + (-z_2) \\
= {} & (z_2 + (z_1 + (-z_1))) + (-z_2) \\
= {} & (z_2 + 0) + (-z_2) \\
= {} & z_2 + (-z_2) \\
= {} & 0
\end{aligned}
故 T = -z_1 - z_2 。
5. 因为结合律，我们可以不区分 (z_1 + z_2) + z_3 与 z_1 + (z_2 + z_3) ，而用不带括号的 z_1 + z_2 + z_3 表示它们。
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我们再补充几点。
0\. 复数里，至多有一个零。具体地，若存在复数 $N_1$ 与 $N_2$ 适合“对任意复数 $z$ ，都有 $z + N_1 = z$ 与 $z + N_2 = z$ ”，则 $N_1 = N_2$ 。这是因为
$$
\begin{aligned}
N_1
= {} & N_1 + N_2 \\
= {} & N_2 + N_1 \\
= {} & N_2
\end{aligned}
$$
由此可知，复数里，恰有一个零。具体地，恰存在一个复数 $N = (0,0)$ ，使对任意复数 $z$ ， $z + N = z$ 。以后，我们就简单地写 $(0,0)$ 为 $0$ 。表面地，这么做会使其跟实数的 $0$ 混淆，实则并不会——我们还没有定义实数加复数（或复数加实数）是什么。在蟒蛇里， $\mathtt{\text{"0"} + 0}$ （默认）就是无意义的表达式。
1\. 每个复数至多有一个相反数。具体地，任取复数 $z$ 。若存在二个复数 $w$ 与 $w'$ 使 $z + w = 0$ 且 $z + w' = 0$ ，则 $w = w'$ 。这是因为
$$
\begin{aligned}
w
= {} & w + 0 \\
= {} & w + (z + w') \\
= {} & (w + z) + w' \\
= {} & (z + w) + w' \\
= {} & 0 + w' \\
= {} & w' + 0 \\
= {} & w'
\end{aligned}
$$
由此可知，每个复数恰有一个相反数。具体地，设 $z = (x,y)$ 。恰存在一个复数 $w = (-x,-y)$ 使 $z + w = 0$ 。以后，我们就叫适合此性质的 $w$ 为 $-z$ 。
2\. 有了相反数，我们就可以定义减法。设 $z_1$, $z_2$ 是二个复数。定义
$$
z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2)
$$
由此可知：二个复数的差还是复数；若复数 $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$ 适合 $z_1 = z_3$ 与 $z_2 = z_4$ ，则 $z_1 - z_2 = z_3 - z_4$ 。（我们用复数的加法的结果就可以证明。具体地说，因为 $z_2$ 是复数，故 $-z_2$ 也是，从而 $z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2)$ 是复数。类似地，读者也可证明后一个论断。）
3\. 一个数的相反数的相反数是自身。具体地，设 $z$ 是复数。再设 $w = -z$ 。那么 $-w = z$ 。
按照定义， $-w$ 就是适合 $w + T = 0$ 的唯一复数 $T$ 。因为
$$
w + z = z + w = z + (-z) = 0
$$
故 $T = z$ 。
4\. 设 $z_1$, $z_2$ 是复数。则 $-(z_1 + z_2) = -z_1 - z_2$ 。设 $w = z_1 + z_2$ 。 $-w$ 就是适合 $w + T = 0$ 的唯一复数 $T$ 。因为
$$
\begin{aligned}
w + (-z_1 - z_2)
= {} & (z_1 + z_2) + ((-z_1) + (-z_2)) \\
= {} & (z_2 + z_1) + ((-z_1) + (-z_2)) \\
= {} & ((z_2 + z_1) + (-z_1)) + (-z_2) \\
= {} & (z_2 + (z_1 + (-z_1))) + (-z_2) \\
= {} & (z_2 + 0) + (-z_2) \\
= {} & z_2 + (-z_2) \\
= {} & 0
\end{aligned}
$$
故 $T = -z_1 - z_2$ 。
5\. 因为结合律，我们可以不区分 $(z_1 + z_2) + z_3$ 与 $z_1 + (z_2 + z_3)$ ，而用不带括号的 $z_1 + z_2 + z_3$ 表示它们。
现在我们引入复数的乘法运算。
定义：设 z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2) 。则 z_1 与 z_2 的积
z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2)
注： z_1 z_2 当然可写为 z_1 \cdot z_2 。
因为二个实数的和、差、积还是实数，所以二个复数的积是复数。并且，若 z_1 = z_3 且 z_2 = z_4 ，则 z_1 z_2 = z_3 z_4 。（请读者自行用复数的相等与复数的乘法的定义证明它。读者可能需要这个命题：“设 a_1, a_2, a_3, a_4 是实数。若 a_1 = a_3 且 a_2 = a_4 ，则 a_1 \circ a_2 = a_3 \circ a_4 ，其中 \circ 是三文字 +, -, \cdot 的任意一个。”）
例：设 z = (1,2) 且 w = (-2,1) 。则
z w = (1 \cdot (-2) - 2 \cdot 1, 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 2) = (-4, -3)
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现在我们引入复数的乘法运算。
定义：设 $z_1 = (x_1, y_1)$, $z_2 = (x_2, y_2)$ 。则 $z_1$ 与 $z_2$ 的积
$$
z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2)
$$
注： $z_1 z_2$ 当然可写为 $z_1 \cdot z_2$ 。
因为二个实数的和、差、积还是实数，所以二个复数的积是复数。并且，若 $z_1 = z_3$ 且 $z_2 = z_4$ ，则 $z_1 z_2 = z_3 z_4$ 。（请读者自行用复数的相等与复数的乘法的定义证明它。读者可能需要这个命题：“设 $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ 是实数。若 $a_1 = a_3$ 且 $a_2 = a_4$ ，则 $a_1 \circ a_2 = a_3 \circ a_4$ ，其中 $\circ$ 是三文字 $+$, $-$, $\cdot$ 的任意一个。”）
例：设 $z = (1,2)$ 且 $w = (-2,1)$ 。则
$$
z w = (1 \cdot (-2) - 2 \cdot 1, 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 2) = (-4, -3)
$$
分配律是焊接复数的加法与乘法的桥。
分配律：设 z_1, z_2, z_3 是复数。则
\begin{aligned} & (z_1 + z_2) z_3 = z_1 z_3 + z_2 z_3, \\ & z_1 (z_2 + z_3) = z_1 z_2 + z_1 z_3 \end{aligned}
注：我们约定，乘法的优先级比加法的高。比方说， z_1 \cdot z_2 + z_3 意味着 (z_1 \cdot z_2) + z_3 ，而不是 z_1 \cdot (z_2 + z_3) 。
复数的分配律依赖实数的分配律。具体地，若 a_1, a_2, a_3 是实数，则
\begin{aligned}
& (a_1 + a_2) a_3 = a_1 a_3 + a_2 a_3, \\
& a_1 (a_2 + a_3) = a_1 a_2 + a_1 a_3
\end{aligned}
当然，加法的交换律与结合律也是不可缺少的。
我们在此处证明前一个等式；后一个等式留给读者作练习。
设
\begin{aligned}
& z_1 = (x_1, y_1), \\
& z_2 = (x_2, y_2), \\
& z_3 = (x_3, y_3)
\end{aligned}
不难算出
\begin{aligned}
& z_1 z_3 = (x_1 x_3 - y_1 y_3, x_1 y_3 + y_1 x_3), \\
& z_2 z_3 = (x_2 x_3 - y_2 y_3, x_2 y_3 + y_2 x_3)
\end{aligned}
故
\begin{aligned}
& z_1 z_3 + z_2 z_3 \\
= {} & ((x_1 x_3 - y_1 y_3) + (x_2 x_3 - y_2 y_3), (x_1 y_3 + y_1 x_3) + (x_2 y_3 + y_2 x_3)) \\
= {} & (((x_1 x_3 - y_1 y_3) + x_2 x_3) - y_2 y_3, ((x_1 y_3 + y_1 x_3) + x_2 y_3) + y_2 x_3) \\
= {} & ((x_1 x_3 + (- y_1 y_3 + x_2 x_3)) - y_2 y_3, (x_1 y_3 + (y_1 x_3 + x_2 y_3)) + y_2 x_3) \\
= {} & ((x_1 x_3 + (x_2 x_3 - y_1 y_3)) - y_2 y_3, (x_1 y_3 + (x_2 y_3 + y_1 x_3)) + y_2 x_3) \\
= {} & (((x_1 x_3 + x_2 x_3) - y_1 y_3) - y_2 y_3, ((x_1 y_3 + x_2 y_3) + y_1 x_3) + y_2 x_3) \\
= {} & ((x_1 x_3 + x_2 x_3) + (-y_1 y_3 - y_2 y_3), (x_1 y_3 + x_2 y_3) + (y_1 x_3 + y_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 x_3 + x_2 x_3) - (y_1 y_3 + y_2 y_3), (x_1 y_3 + x_2 y_3) + (y_1 x_3 + y_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 + x_2) x_3 - (y_1 + y_2) y_3, (x_1 + x_2) y_3 + (y_1 + y_2) x_3) \\
= {} & (x_1 + x_2, y_1 + y_2) (x_3, y_3) \\
= {} & (z_1 + z_2) z_3
\end{aligned}
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分配律是焊接复数的加法与乘法的桥。
> 分配律：设 $z_1$, $z_2$, $z_3$ 是复数。则
> $$
\begin{aligned}
& (z_1 + z_2) z_3 = z_1 z_3 + z_2 z_3, \\
& z_1 (z_2 + z_3) = z_1 z_2 + z_1 z_3
\end{aligned}
> $$
注：我们约定，乘法的优先级比加法的高。比方说， $z_1 \cdot z_2 + z_3$ 意味着 $(z_1 \cdot z_2) + z_3$ ，而不是 $z_1 \cdot (z_2 + z_3)$ 。
复数的分配律依赖实数的分配律。具体地，若 $a_1$, $a_2$, $a_3$ 是实数，则
$$
\begin{aligned}
& (a_1 + a_2) a_3 = a_1 a_3 + a_2 a_3, \\
& a_1 (a_2 + a_3) = a_1 a_2 + a_1 a_3
\end{aligned}
$$
当然，加法的交换律与结合律也是不可缺少的。
我们在此处证明前一个等式；后一个等式留给读者作练习。
---
设
$$
\begin{aligned}
& z_1 = (x_1, y_1), \\
& z_2 = (x_2, y_2), \\
& z_3 = (x_3, y_3)
\end{aligned}
$$
不难算出
$$
\begin{aligned}
& z_1 z_3 = (x_1 x_3 - y_1 y_3, x_1 y_3 + y_1 x_3), \\
& z_2 z_3 = (x_2 x_3 - y_2 y_3, x_2 y_3 + y_2 x_3)
\end{aligned}
$$
故
$$
\begin{aligned}
& z_1 z_3 + z_2 z_3 \\
= {} & ((x_1 x_3 - y_1 y_3) + (x_2 x_3 - y_2 y_3), (x_1 y_3 + y_1 x_3) + (x_2 y_3 + y_2 x_3)) \\
= {} & (((x_1 x_3 - y_1 y_3) + x_2 x_3) - y_2 y_3, ((x_1 y_3 + y_1 x_3) + x_2 y_3) + y_2 x_3) \\
= {} & ((x_1 x_3 + (- y_1 y_3 + x_2 x_3)) - y_2 y_3, (x_1 y_3 + (y_1 x_3 + x_2 y_3)) + y_2 x_3) \\
= {} & ((x_1 x_3 + (x_2 x_3 - y_1 y_3)) - y_2 y_3, (x_1 y_3 + (x_2 y_3 + y_1 x_3)) + y_2 x_3) \\
= {} & (((x_1 x_3 + x_2 x_3) - y_1 y_3) - y_2 y_3, ((x_1 y_3 + x_2 y_3) + y_1 x_3) + y_2 x_3) \\
= {} & ((x_1 x_3 + x_2 x_3) + (-y_1 y_3 - y_2 y_3), (x_1 y_3 + x_2 y_3) + (y_1 x_3 + y_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 x_3 + x_2 x_3) - (y_1 y_3 + y_2 y_3), (x_1 y_3 + x_2 y_3) + (y_1 x_3 + y_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 + x_2) x_3 - (y_1 + y_2) y_3, (x_1 + x_2) y_3 + (y_1 + y_2) x_3) \\
= {} & (x_1 + x_2, y_1 + y_2) (x_3, y_3) \\
= {} & (z_1 + z_2) z_3
\end{aligned}
$$
我们看分配律的三个应用。
对任意复数 z ，必有 0z = 0 。
任取复数 z 。那么， 0z （也就是 0 \cdot z ） 也是复数。它有相反数 w 。根据 0 的定义， 0 = 0 + 0 。所以
\begin{aligned}
0
= {} & 0z + w \\
= {} & (0 + 0)z + w \\
= {} & (0z + 0z) + w \\
= {} & 0z + (0z + w) \\
= {} & 0z
\end{aligned}
当然，类似地， z0 = 0 。
对任意复数 z_1, z_2 ，必有 (-z_1) z_2 = -z_1 z_2 。
注： -z_1 z_2 意味着 -(z_1 z_2) 。
任取复数 z_1, z_2 。 -z_1 z_2 就是适合 z_1 z_2 + T = 0 的唯一复数 T 。因为
z_1 z_2 + (-z_1) z_2 = (z_1 + (-z_1)) z_2 = 0 \cdot z_2 = 0
故 T = (-z_1) z_2 。
当然，类似地， z_1 (-z_2) = -z_1 z_2 。
对任意复数 z_1, z_2, z_3 ，必有 (z_1 - z_2)z_3 = z_1 z_3 - z_2 z_3 。
任取复数 z_1, z_2, z_3 。则
\begin{aligned}
(z_1 - z_2) z_3
= {} & z_1 z_3 + (-z_2) z_3 \\
= {} & z_1 z_3 - z_2 z_3
\end{aligned}
当然，类似地， z_1 (z_2 - z_3) = z_1 z_2 - z_1 z_3 。
You could see the source code here.
我们看分配律的三个应用。
> 对任意复数 $z$ ，必有 $0z = 0$ 。
任取复数 $z$ 。那么， $0z$ （也就是 $0 \cdot z$ ） 也是复数。它有相反数 $w$ 。根据 $0$ 的定义， $0 = 0 + 0$ 。所以
$$
\begin{aligned}
0
= {} & 0z + w \\
= {} & (0 + 0)z + w \\
= {} & (0z + 0z) + w \\
= {} & 0z + (0z + w) \\
= {} & 0z
\end{aligned}
$$
当然，类似地， $z0 = 0$ 。
> 对任意复数 $z_1$, $z_2$ ，必有 $(-z_1) z_2 = -z_1 z_2$ 。
注： $-z_1 z_2$ 意味着 $-(z_1 z_2)$ 。
任取复数 $z_1$, $z_2$ 。 $-z_1 z_2$ 就是适合 $z_1 z_2 + T = 0$ 的唯一复数 $T$ 。因为
$$
z_1 z_2 + (-z_1) z_2 = (z_1 + (-z_1)) z_2 = 0 \cdot z_2 = 0
$$
故 $T = (-z_1) z_2$ 。
当然，类似地， $z_1 (-z_2) = -z_1 z_2$ 。
> 对任意复数 $z_1$, $z_2$, $z_3$ ，必有 $(z_1 - z_2)z_3 = z_1 z_3 - z_2 z_3$ 。
任取复数 $z_1$, $z_2$, $z_3$ 。则
$$
\begin{aligned}
(z_1 - z_2) z_3
= {} & z_1 z_3 + (-z_2) z_3 \\
= {} & z_1 z_3 - z_2 z_3
\end{aligned}
$$
当然，类似地， $z_1 (z_2 - z_3) = z_1 z_2 - z_1 z_3$ 。
前面，我们知道，复数的加法与乘法间有一座叫“分配律”的桥；现在，我们就来看看复数的乘法本身有什么性质。
设 z_1, z_2, z_3 为复数。复数的乘法适合如下性质：
- 交换律： z_1 z_2 = z_2 z_1 ；
- 结合律： (z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3) ；
- 幺：存在复数 U ，使对任意复数 z_1 ，都有 z_1 U = z_1 。
这些性质的论证也不难。我们证明稍繁的结合律；其馀的留给读者作练习。当然了，我们也给一个提示： (1,0) 就适合 z_1 \cdot (1,0) = z_1 （当然，具体的计算留给读者作练习）。
还有，这些性质也依赖实数的乘法的对应性质。具体地，设 a_1, a_2, a_3 是实数，则：
- 交换律： a_1 a_2 = a_2 a_1 ；
- 结合律： (a_1 a_2) a_3 = a_1 (a_2 a_3) ；
- 幺：存在实数 u ，使对任意实数 a_1 ，都有 a_1 u = a_1 （此 u 即 1 ）。
还有！因为复数的乘法的定义涉及加、减、乘，故证明复数的乘法的结合律时我们还要用到实数的分配律。
设
\begin{aligned}
& z_1 = (x_1, y_1), \\
& z_2 = (x_2, y_2), \\
& z_3 = (x_3, y_3)
\end{aligned}
不难算出
\begin{aligned}
& z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2), \\
& z_2 z_3 = (x_2 x_3 - y_2 y_3, x_2 y_3 + y_2 x_3)
\end{aligned}
所以
\begin{aligned}
& (z_1 z_2) z_3 \\
= {} & ((x_1 x_2 - y_1 y_2) x_3 - (x_1 y_2 + y_1 x_2) y_3, (x_1 x_2 - y_1 y_2) y_3 + (x_1 y_2 + y_1 x_2) x_3) \\
= {} & (((x_1 x_2) x_3 - (y_1 y_2) x_3) - ((x_1 y_2) y_3 + (y_1 x_2) y_3), ((x_1 x_2) y_3 - (y_1 y_2) y_3) + ((x_1 y_2) x_3 + (y_1 x_2) x_3)) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) - y_1 (y_2 x_3)) - (x_1 (y_2 y_3) + y_1 (x_2 y_3)), (x_1 (x_2 y_3) - y_1 (y_2 y_3)) + (x_1 (y_2 x_3) + y_1 (x_2 x_3))) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) - y_1 (y_2 x_3)) + (-x_1 (y_2 y_3) - y_1 (x_2 y_3)), (x_1 (x_2 y_3) - y_1 (y_2 y_3)) + (x_1 (y_2 x_3) + y_1 (x_2 x_3))) \\
= {} & (((x_1 (x_2 x_3) - y_1 (y_2 x_3)) -x_1 (y_2 y_3)) - y_1 (x_2 y_3), ((x_1 (x_2 y_3) - y_1 (y_2 y_3)) + x_1 (y_2 x_3)) + y_1 (x_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) +(- y_1 (y_2 x_3) -x_1 (y_2 y_3))) - y_1 (x_2 y_3), (x_1 (x_2 y_3) + (- y_1 (y_2 y_3) + x_1 (y_2 x_3))) + y_1 (x_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) +(-x_1 (y_2 y_3)) - y_1 (y_2 x_3)) - y_1 (x_2 y_3), (x_1 (x_2 y_3) + (x_1 (y_2 x_3) - y_1 (y_2 y_3))) + y_1 (x_2 x_3)) \\
= {} & (((x_1 (x_2 x_3) -x_1 (y_2 y_3)) - y_1 (y_2 x_3)) - y_1 (x_2 y_3), ((x_1 (x_2 y_3) + x_1 (y_2 x_3)) - y_1 (y_2 y_3)) + y_1 (x_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) -x_1 (y_2 y_3)) +(- y_1 (y_2 x_3) - y_1 (x_2 y_3)), (x_1 (x_2 y_3) + x_1 (y_2 x_3)) + (- y_1 (y_2 y_3) + y_1 (x_2 x_3))) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) -x_1 (y_2 y_3)) -(y_1 (x_2 y_3) + y_1 (y_2 x_3)), (x_1 (x_2 y_3) + x_1 (y_2 x_3)) + (y_1 (x_2 x_3) - y_1 (y_2 y_3))) \\
= {} & (x_1 (x_2 x_3 - y_2 y_3) -y_1 (x_2 y_3 + y_2 x_3), x_1 (x_2 y_3 + y_2 x_3) + y_1 (x_2 x_3 - y_2 y_3)) \\
= {} & z_1 (z_2 z_3)
\end{aligned}
You could see the source code here.
前面，我们知道，复数的加法与乘法间有一座叫“分配律”的桥；现在，我们就来看看复数的乘法本身有什么性质。
设 $z_1$, $z_2$, $z_3$ 为复数。复数的乘法适合如下性质：
> 0. 交换律： $z_1 z_2 = z_2 z_1$ ；
> 1. 结合律： $(z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)$ ；
> 2. 幺：存在复数 $U$ ，使对任意复数 $z_1$ ，都有 $z_1 U = z_1$ 。
这些性质的论证也不难。我们证明稍繁的结合律；其馀的留给读者作练习。当然了，我们也给一个提示： $(1,0)$ 就适合 $z_1 \cdot (1,0) = z_1$ （当然，具体的计算留给读者作练习）。
还有，这些性质也依赖实数的乘法的对应性质。具体地，设 $a_1$, $a_2$, $a_3$ 是实数，则：
> 0. 交换律： $a_1 a_2 = a_2 a_1$ ；
> 1. 结合律： $(a_1 a_2) a_3 = a_1 (a_2 a_3)$ ；
> 2. 幺：存在实数 $u$ ，使对任意实数 $a_1$ ，都有 $a_1 u = a_1$ （此 $u$ 即 $1$ ）。
还有！因为复数的乘法的定义涉及加、减、乘，故证明复数的乘法的结合律时我们还要用到实数的分配律。
---
设
$$
\begin{aligned}
& z_1 = (x_1, y_1), \\
& z_2 = (x_2, y_2), \\
& z_3 = (x_3, y_3)
\end{aligned}
$$
不难算出
$$
\begin{aligned}
& z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2), \\
& z_2 z_3 = (x_2 x_3 - y_2 y_3, x_2 y_3 + y_2 x_3)
\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
& (z_1 z_2) z_3 \\
= {} & ((x_1 x_2 - y_1 y_2) x_3 - (x_1 y_2 + y_1 x_2) y_3, (x_1 x_2 - y_1 y_2) y_3 + (x_1 y_2 + y_1 x_2) x_3) \\
= {} & (((x_1 x_2) x_3 - (y_1 y_2) x_3) - ((x_1 y_2) y_3 + (y_1 x_2) y_3), ((x_1 x_2) y_3 - (y_1 y_2) y_3) + ((x_1 y_2) x_3 + (y_1 x_2) x_3)) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) - y_1 (y_2 x_3)) - (x_1 (y_2 y_3) + y_1 (x_2 y_3)), (x_1 (x_2 y_3) - y_1 (y_2 y_3)) + (x_1 (y_2 x_3) + y_1 (x_2 x_3))) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) - y_1 (y_2 x_3)) + (-x_1 (y_2 y_3) - y_1 (x_2 y_3)), (x_1 (x_2 y_3) - y_1 (y_2 y_3)) + (x_1 (y_2 x_3) + y_1 (x_2 x_3))) \\
= {} & (((x_1 (x_2 x_3) - y_1 (y_2 x_3)) -x_1 (y_2 y_3)) - y_1 (x_2 y_3), ((x_1 (x_2 y_3) - y_1 (y_2 y_3)) + x_1 (y_2 x_3)) + y_1 (x_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) +(- y_1 (y_2 x_3) -x_1 (y_2 y_3))) - y_1 (x_2 y_3), (x_1 (x_2 y_3) + (- y_1 (y_2 y_3) + x_1 (y_2 x_3))) + y_1 (x_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) +(-x_1 (y_2 y_3)) - y_1 (y_2 x_3)) - y_1 (x_2 y_3), (x_1 (x_2 y_3) + (x_1 (y_2 x_3) - y_1 (y_2 y_3))) + y_1 (x_2 x_3)) \\
= {} & (((x_1 (x_2 x_3) -x_1 (y_2 y_3)) - y_1 (y_2 x_3)) - y_1 (x_2 y_3), ((x_1 (x_2 y_3) + x_1 (y_2 x_3)) - y_1 (y_2 y_3)) + y_1 (x_2 x_3)) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) -x_1 (y_2 y_3)) +(- y_1 (y_2 x_3) - y_1 (x_2 y_3)), (x_1 (x_2 y_3) + x_1 (y_2 x_3)) + (- y_1 (y_2 y_3) + y_1 (x_2 x_3))) \\
= {} & ((x_1 (x_2 x_3) -x_1 (y_2 y_3)) -(y_1 (x_2 y_3) + y_1 (y_2 x_3)), (x_1 (x_2 y_3) + x_1 (y_2 x_3)) + (y_1 (x_2 x_3) - y_1 (y_2 y_3))) \\
= {} & (x_1 (x_2 x_3 - y_2 y_3) -y_1 (x_2 y_3 + y_2 x_3), x_1 (x_2 y_3 + y_2 x_3) + y_1 (x_2 x_3 - y_2 y_3)) \\
= {} & z_1 (z_2 z_3)
\end{aligned}
$$
I am dazzled. Let me take a break. See you tomorrow.
我記的虛部跟實部是分開計算的。
虛數就是用来給負數開偶次方根的。
比如一元三次方程求根公式。
虛數在生活以及工業設計中用的都不多，而編程如python、c、js等如何表示虛數，我現在還不太懂。
嗯。的确——目前涉及到的加法与乘法都是分开了实部与虚部。
的确——一开始是这样，比方说二数的和为 10，积为 40，那么这二个数是 5 \pm \sqrt{-15} 。
的确，它在生活中用得不多（我就不清楚工业了）。
“蟒蛇” natively 支持复数的表达（我不会译 natively 为汉语）： z = 1 + 2j 就作出了复数 (1,2) （或者， 1 + 2\mathrm{i} ）并将其写入变量 z。
我就不太了解“爪哇剧本”或“丙”了。
我们再补充几点。
0. 复数里，至多有一个幺。具体地，若存在复数 U_1 与 U_2 适合“对任意复数 z ，都有 zU_1 = z 与 zU_2 = z ”，则 U_1 = U_2 。这是因为
\begin{aligned}
U_1
= {} & U_1 U_2 \\
= {} & U_2 U_1 \\
= {} & U_2
\end{aligned}
由此可知，复数里，恰有一个幺。具体地，恰存在一个复数 U = (1,0) ，使对任意复数 z ， zU = z 。以后，我们就简单地写 (1,0) 为 1 。表面地，这么做会使其跟实数的 1 混淆，实则并不会——我们还没有定义实数乘以复数（或复数乘以实数）是什么。
1. 因为结合律，我们可以不区分 (z_1 z_2) z_3 与 z_1 (z_2 z_3) ，而用不带括号的 z_1 z_2 z_3 表示它们。
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我们再补充几点。
0\. 复数里，至多有一个幺。具体地，若存在复数 $U_1$ 与 $U_2$ 适合“对任意复数 $z$ ，都有 $zU_1 = z$ 与 $zU_2 = z$ ”，则 $U_1 = U_2$ 。这是因为
$$
\begin{aligned}
U_1
= {} & U_1 U_2 \\
= {} & U_2 U_1 \\
= {} & U_2
\end{aligned}
$$
由此可知，复数里，恰有一个幺。具体地，恰存在一个复数 $U = (1,0)$ ，使对任意复数 $z$ ， $zU = z$ 。以后，我们就简单地写 $(1,0)$ 为 $1$ 。表面地，这么做会使其跟实数的 $1$ 混淆，实则并不会——我们还没有定义实数乘以复数（或复数乘以实数）是什么。
1\. 因为结合律，我们可以不区分 $(z_1 z_2) z_3$ 与 $z_1 (z_2 z_3)$ ，而用不带括号的 $z_1 z_2 z_3$ 表示它们。
现在我们讨论一个稍复杂的问题。
我们知道，存在实数 0 ，使对任意实数 a ，都有 a + 0 = a 。类似地，存在实数 1 ，使对任意实数 a ，都有 a \cdot 1 = a 。
我们也知道，对任意实数 a ，存在实数 b 使 a + b = 0 。不过，存在实数 n ，使对任意实数 c ，都有 nc \neq 1 。
这是加法与乘法的一个小区别。不是每个实数都有倒数——具体地，不是每个实数 a 都能找到一个 c 使 ac = 1 。比方说， 0 就不行——因为 0 与任意实数的积是 0 ，而 0 \neq 1 。
幸运地，每个非零的实数都有倒数——具体地，就是
任给非零实数 a ，存在实数 c 使 ac = 1 。这样的 c 叫 a 的倒数。
我们在复数里讨论类似的问题。
定义：设 z 是复数。若存在复数 w 使 zw = 1 ，则 w 是 z 的一个倒数。
首先，复数 0 无倒数——我们用分配律证明了， 0 与任意复数的积是 0 ，而 0 \neq 1 （读者可自行验证 (0,0) \neq (1,0) ）。
接下来，我们说明：若 z \neq 0 ，则 z 至少有一个倒数。
这不难。设 z = (x,y) 。既然 z \neq 0 ，那么 x^2 + y^2 \neq 0 。所以， p = \frac{x}{x^2 + y^2} 与 q = \frac{-y}{x^2 + y^2} 都是实数。所以， w = (p,q) 是复数。我们计算 z 与 w 的积：
\begin{aligned}
& xp - yq = \frac{x^2}{x^2 + y^2} - \frac{-y^2}{x^2 + y^2} = 1, \\
& xq + yp = \frac{-xy}{x^2 + y^2} + \frac{yx}{x^2 + y^2} = 0, \\
& zw = (xp - yq, xq + yp) = (1, 0) = 1
\end{aligned}
所以 z 的确有倒数。
由此可知
设 z 为复数。若 z = 0 ，则 z 无倒数；若 z \neq 0 ，则 z 有倒数。
You could see the source code here.
现在我们讨论一个稍复杂的问题。
我们知道，存在实数 $0$ ，使对任意实数 $a$ ，都有 $a + 0 = a$ 。类似地，存在实数 $1$ ，使对任意实数 $a$ ，都有 $a \cdot 1 = a$ 。
我们也知道，对任意实数 $a$ ，存在实数 $b$ 使 $a + b = 0$ 。不过，存在实数 $n$ ，使对任意实数 $c$ ，都有 $nc \neq 1$ 。
这是加法与乘法的一个小区别。不是每个实数都有倒数——具体地，不是每个实数 $a$ 都能找到一个 $c$ 使 $ac = 1$ 。比方说， $0$ 就不行——因为 $0$ 与任意实数的积是 $0$ ，而 $0 \neq 1$ 。
幸运地，每个非零的实数都有倒数——具体地，就是
> 任给非零实数 $a$ ，存在实数 $c$ 使 $ac = 1$ 。这样的 $c$ 叫 $a$ 的倒数。
---
我们在复数里讨论类似的问题。
定义：设 $z$ 是复数。若存在复数 $w$ 使 $zw = 1$ ，则 $w$ 是 $z$ 的一个倒数。
首先，复数 $0$ 无倒数——我们用分配律证明了， $0$ 与任意复数的积是 $0$ ，而 $0 \neq 1$ （读者可自行验证 $(0,0) \neq (1,0)$ ）。
接下来，我们说明：若 $z \neq 0$ ，则 $z$ 至少有一个倒数。
这不难。设 $z = (x,y)$ 。既然 $z \neq 0$ ，那么 $x^2 + y^2 \neq 0$ 。所以， $p = \frac{x}{x^2 + y^2}$ 与 $q = \frac{-y}{x^2 + y^2}$ 都是实数。所以， $w = (p,q)$ 是复数。我们计算 $z$ 与 $w$ 的积：
$$
\begin{aligned}
& xp - yq = \frac{x^2}{x^2 + y^2} - \frac{-y^2}{x^2 + y^2} = 1, \\
& xq + yp = \frac{-xy}{x^2 + y^2} + \frac{yx}{x^2 + y^2} = 0, \\
& zw = (xp - yq, xq + yp) = (1, 0) = 1
\end{aligned}
$$
所以 $z$ 的确有倒数。
由此可知
> 设 $z$ 为复数。若 $z = 0$ ，则 $z$ 无倒数；若 $z \neq 0$ ，则 $z$ 有倒数。
我们再补充几点。
2. 非零复数的倒数也不是零。具体地，设复数 z \neq 0 。我们知道，存在 w 使 zw = 1 。我们要说明 w \neq 0 。这很容易。反设 w = 0 ，则
zw = z \cdot 0 = 0 \neq 1
这是矛盾。所以， w 也不是零。
3. 每个非零复数至多有一个倒数。具体地，设复数 z \neq 0 。若存在二个复数 w 与 w' 使 zw = 1 且 zw' = 1 ，则 w = w' 。这是因为
\begin{aligned}
w
= {} & w \cdot 1 \\
= {} & w (zw') \\
= {} & (wz) w' \\
= {} & (zw) w' \\
= {} & 1 \cdot w' \\
= {} & w' \cdot 1 \\
= {} & w'
\end{aligned}
由此可知，每个非零复数恰有一个倒数。具体地，设 z = (x, y) \neq 0 。恰存在一个复数 w = \left( \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{-y}{x^2+y^2} \right) 使 zw = 1 。以后，我们就叫适合此性质的 w 为 z^{-1} 。
4. 有了倒数，我们就可以定义除法。设 z_1, z_2 是二个复数，且 z_2 \neq 0 。定义
\frac{z_1}{z_2} = z_1 z_2^{-1}
由此可知：二个复数的商还是复数（当然了，除数 z_2 不可为零）；若复数 z_1, z_2, z_3, z_4 适合 z_2 \neq 0, z_4 \neq 0, z_1 = z_3, z_2 = z_4, 则 \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_3}{z_4} 。（我们利用复数的乘法的结果就可以证明。这些论断就留给读者作练习吧。）
5. 一个非零数的倒数的倒数是自身。具体地，设 z \neq 0 。再设 w = z^{-1} 。那么 w \neq 0 。按照定义， w^{-1} 就是适合 wT = 1 的唯一复数 T 。因为
\begin{aligned}
wz = zw = zz^{-1} = 1
\end{aligned}
故 T = z 。
6. 设 z_1, z_2 都是非零复数。则 z_1 z_2 \neq 0 ，且 (z_1 z_2)^{-1} = z_1^{-1} z_2^{-1} 。
设 w = z_1 z_2 。我们先说明 w \neq 0 。反设 w = 0 。那么 z_1 z_2 = 0 。因为 z_2 \neq 0 ，故 z_2 有倒数 z_2^{-1} 。所以
(z_1 z_2) z_2^{-1} = 0 z_2^{-1}
也就是
z_1 (z_2 z_2^{-1}) = 0
故
z_1 = z_1 \cdot 1 = 0
这与假定 z_1 \neq 0 矛盾！所以， w \neq 0 。既然 w \neq 0 ，那么 w^{-1} 就是适合 wT = 1 的唯一复数 T 。因为
\begin{aligned}
w (z_1^{-1} z_2^{-1})
= {} & (z_1 z_2) (z_1^{-1} z_2^{-1}) \\
= {} & (z_2 z_1) (z_1^{-1} z_2^{-1}) \\
= {} & ((z_2 z_1) z_1^{-1}) z_2^{-1} \\
= {} & (z_2 (z_1 z_1^{-1})) z_2^{-1} \\
= {} & (z_2 \cdot 1) z_2^{-1} \\
= {} & z_2 z_2^{-1} \\
= {} & 1
\end{aligned}
故 T = z_1^{-1} z_2^{-1} 。
You could see the source code here.
我们再补充几点。
2\. 非零复数的倒数也不是零。具体地，设复数 $z \neq 0$ 。我们知道，存在 $w$ 使 $zw = 1$ 。我们要说明 $w \neq 0$ 。这很容易。反设 $w = 0$ ，则
$$
zw = z \cdot 0 = 0 \neq 1
$$
这是矛盾。所以， $w$ 也不是零。
3\. 每个非零复数至多有一个倒数。具体地，设复数 $z \neq 0$ 。若存在二个复数 $w$ 与 $w'$ 使 $zw = 1$ 且 $zw' = 1$ ，则 $w = w'$ 。这是因为
$$
\begin{aligned}
w
= {} & w \cdot 1 \\
= {} & w (zw') \\
= {} & (wz) w' \\
= {} & (zw) w' \\
= {} & 1 \cdot w' \\
= {} & w' \cdot 1 \\
= {} & w'
\end{aligned}
$$
由此可知，每个非零复数恰有一个倒数。具体地，设 $z = (x, y) \neq 0$ 。恰存在一个复数 $w = \left( \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{-y}{x^2+y^2} \right)$ 使 $zw = 1$ 。以后，我们就叫适合此性质的 $w$ 为 $z^{-1}$ 。
4\. 有了倒数，我们就可以定义除法。设 $z_1$, $z_2$ 是二个复数，且 $z_2 \neq 0$ 。定义
$$
\frac{z_1}{z_2} = z_1 z_2^{-1}
$$
由此可知：二个复数的商还是复数（当然了，除数 $z_2$ 不可为零）；若复数 $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$ 适合 $z_2 \neq 0$, $z_4 \neq 0$, $z_1 = z_3$, $z_2 = z_4$, 则 $\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_3}{z_4}$ 。（我们利用复数的乘法的结果就可以证明。这些论断就留给读者作练习吧。）
5\. 一个非零数的倒数的倒数是自身。具体地，设 $z \neq 0$ 。再设 $w = z^{-1}$ 。那么 $w \neq 0$ 。按照定义， $w^{-1}$ 就是适合 $wT = 1$ 的唯一复数 $T$ 。因为
$$
\begin{aligned}
wz = zw = zz^{-1} = 1
\end{aligned}
$$
故 $T = z$ 。
6\. 设 $z_1$, $z_2$ 都是非零复数。则 $z_1 z_2 \neq 0$ ，且 $(z_1 z_2)^{-1} = z_1^{-1} z_2^{-1}$ 。
设 $w = z_1 z_2$ 。我们先说明 $w \neq 0$ 。反设 $w = 0$ 。那么 $z_1 z_2 = 0$ 。因为 $z_2 \neq 0$ ，故 $z_2$ 有倒数 $z_2^{-1}$ 。所以
$$
(z_1 z_2) z_2^{-1} = 0 z_2^{-1}
$$
也就是
$$
z_1 (z_2 z_2^{-1}) = 0
$$
故
$$
z_1 = z_1 \cdot 1 = 0
$$
这与假定 $z_1 \neq 0$ 矛盾！所以， $w \neq 0$ 。既然 $w \neq 0$ ，那么 $w^{-1}$ 就是适合 $wT = 1$ 的唯一复数 $T$ 。因为
$$
\begin{aligned}
w (z_1^{-1} z_2^{-1})
= {} & (z_1 z_2) (z_1^{-1} z_2^{-1}) \\
= {} & (z_2 z_1) (z_1^{-1} z_2^{-1}) \\
= {} & ((z_2 z_1) z_1^{-1}) z_2^{-1} \\
= {} & (z_2 (z_1 z_1^{-1})) z_2^{-1} \\
= {} & (z_2 \cdot 1) z_2^{-1} \\
= {} & z_2 z_2^{-1} \\
= {} & 1
\end{aligned}
$$
故 $T = z_1^{-1} z_2^{-1}$ 。