哪错了哪错了
主要是一些文字与标点上的错. 当然, 也有一些 “不仔细看就看不到的” 数学小错.
有同志希望, 我在目录也能标记选学内容. 于是, 我手工地画了标记. 因为此书应该不会再有大改了, 故手工画 16 个星号也不是不能被接受的.
我又想校书了. 可是, 我还有不少别的任务, 故若我自己校书, 只能一点一点地校书. 另一方面, 作者校自己的书的效果不一定是好的, 但我没有钱请人校对. 我也不好意思不要钱地请熟人校对.
说到底, 还是因为我没有钱. 若我有钱, 我当然可以正式地出版它; 若我还有一些钱, 我甚至可以既在出版社出版它, 还在网上自由地发行此书.
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浅看了前几章，受曾经学过的 Mathematical Analysis 的影响，我个人是比较喜欢这种慢条斯理的逐步推进定义的过程的。
然而我认为编者（以及国内大部分面向「初学者」的教材）没有能引导读者产生数学直觉，是一件很遗憾的事。下面提 (a) (b) 两点建议。
比方说第一节《缺项定位》，对于后续推导是有用的。然而读者面对的是一本叫《行列式入门》的书，如果翻阅前几节都在做不知所谓（对于没有接触过线性代数学的大众来说，这确实是「不知所谓」）的定义铺垫，很容易让人产生「你说这些是为了干什么」的疑问。如果仅仅说「这些内容在后续是有用的，所以请读者了解」，其实有点 塞给你一个黑盒子，告诉你「不用管它是什么，这是后面会用到的神奇工具」 的感觉，让人摸不着头脑。所以，(a) 应当在每一节开头告诉读者本节的意义。
另外，我个人非常反感仅用代数学方法（即逆序对、排列等，最差的还包括介绍不知所云的「对角线公式」）定义行列式的做法，这对于初学者而言的意义是非常不显然的，很多学生直到毕业也没有从推导中悟出这几个工具的意义。(b) 行列式本身作为工具，必然能解决某种具象的实际问题。如果能从问题出发（例如，计算若干向量所张成空间体的体积）加入几何直觉辅佐说明，会让整个问题清晰很多。
当然，还有不得不提的 Gilbert Strang 的 Introduction to Linear Algebra，可以参考一下其介绍方式。
p.s. 我本科时线性代数学得极差，大部分内容都遗忘了。如有问题敬请指正。
其实, 本书的出生有一段小故事. (Postscript: 写毕, 我才意识到, 故事有些太长了.)
当时, 我是一个已毕业的 (一般的本科的) 数学系学生. 某日, 我在 bilibili 看到关于行列式的数普 (数学普及) 片. 看完此片, 我自然是有些感想的. 我初学行列式时, 教材用排列写下了那个含 n! 项和的式子. 当时, 我没多想, 也跟着教材与教师学下去了. 不过, 我也注意到, 教材中的 “排列” 几乎只为行列式服务, 且用按一行/列展开也能写出行列式, 为什么不直接归纳地定义行列式呢? 我就这么研究了. 然后, 我遇到一些挑战: 的确, 不管怎么定义行列式都行, 但行列式的性质使更重要的. 我自然要从这个归纳定义出发, 证明行列式的一些重要的性质. 探索一段时间后, 我发现, 若我明白方阵的一个元在这个方阵的子阵中的位置, 则这些性质的证明只是常规的中学代数计算. 为了 “丝滑地作此事” (in order to do it “smoothly”), 我引入了 \rho-记号. 于是, 我写了一篇约 20 页的文章, 详细地讨论了如何用按首列展开作定义, 证明行列式的性质, 并得到大多数书中被用作定义的那个含 n! 项和的式子 (从而, 二种定义方式的确是等价的). (当然, 事后参考别的文献, 我得知, 这不是我最先想到的. 已有高手作了此事.)
到此为止, 一切似乎是正常的.
我有些高兴地看着自己的文章. 我想, 我可以写一本给初学者的教材, 按这篇文章定义行列式, 并再补充一些内容, 以便有中学代数基础的人 (此处有伏笔!) 学明白行列式, 并用行列式解决一些问题. 于是, 我写出了您看到的这本书的第一章.
现在看来, 我这么写确实不太好. 我介绍的 “缺项定位” 虽有用, 但 (1) 不是必须的, 因为我用它只是为了简化证明; (2) 对初学者可能确实较迷惑, 因为我未好好地介绍它的作用. 可是, 话说回来, 我又该如何介绍这个不必须的 “缺项定位” 的作用呢? 所以, 为了 “自然一些”, 我可能要好好地改一改这些小节的顺序吧…(比如, 我只在证明行列式的性质时用相关的知识.)
其实, 关于定义行列式的方法, 我多少有话说. 用排列与其逆序数的确不是那么显然, 但按首列/行展开定义就真地更显然/直接吗? 可能不同的人有不一样的回答吧. (例如, 若在某问题的研究里, 至多用到 2 × 2 阵与 3 × 3 阵的行列式, 则直接写出那 2 项或 6 项的和也不是那么坏的选择.) 我曾说, 行列式的性质是重要的; 进一步地, 我们可以用行列式的几条性质, 唯一地确定行列式. 于是, 有的教材用行列式的性质定义行列式 (比如, 您提到的 Introduction to Linear Algebra, by Gilbert Strang). 不过, 若如此定义行列式, 我们应当还要证明, 确实有一个函数适合这些性质. 这对初学者是否有些挑战呢? 若是数学系的学生, 我想, 这可能没什么; 若是非数学系的学生, 我就不太清楚了. 我注意到, 线性代数理论其实不那么需要行列式 (行列式只是一个工具, 但并不是说, 没它不行: 最近几十年, 我们有少用或不用行列式的线性代数教法), 而微积分 (尤其是多元函数的微积分) 与解析几何或许比线性代数更需要行列式, 故我还是选择按首列展开定义行列式, “在矮个子里选较高的 (选对有中学代数基础的初学者较友好的)”. 这样, 我就可以暗示读者, 行列式理论重要, 但也没那么重要.
关于 “几何直觉”, 我自然想过在书中提到 2D 空间中的平行四边形的面积与 3D 空间中的平行六面体的体积. 不过, 因为我一开始定的目标读者的水平有些低, 且我发现此问题时, 我写了一大半的书了, 故我只能忍痛不讲 (若我还有空闲时间, 我可能会大改本书; 但是, 我最近几年没空). 另一方面, 由于健康问题, 我几乎不使用鼠标 (我几乎只用键盘; 若我一定要用鼠标, 我用我的可编程键盘模拟鼠标动作), 故用图形界面的绘图工具有些挑战. 不过, 用代码实现绘图 (从而可以全键盘操作) 的绘图工具 TikZ 有些难. 于是, 由于我的懒惰, 我在书中没有画几何的图.
最后, 我想说, 若我能用我写的书开一门行列式的课程, 我可能就更清楚, 我的书应该是什么样的. 比如, 虽然同济版的线性代数教材被不少人批评, 但这本教材一直被用, 还出了第 7 版. 作为对比, 我在书中写下的东西现在只是我的不成熟的想法.
感谢您的评论.
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2024-05-11 更新:
- 又修正了一些小错
- 去除了过多的超文本链接
- 有了一个标识 (emblem)
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Einstein 似乎没有专门的文章或书讨论行列式; 不过, 行列式可能是他的研究的一个小工具.
其实, 在 19 世纪, 有不少研究行列式的专著. 您可能知道 Alice in Wonderland 这本书吧. 此书的作者, Dodgson, 还写过 An Elementary Treatise on Determinants.
The overwhelming commercial success of the first Alice book changed Dodgson’s life in many ways. The fame of his alter ego “Lewis Carroll” soon spread around the world. He was inundated with fan mail and with sometimes unwanted attention. Indeed, according to one popular story, Queen Victoria herself enjoyed Alice in Wonderland so much that she commanded that he dedicate his next book to her, and was accordingly presented with his next work, a scholarly mathematical volume entitled An Elementary Treatise on Determinants.
更新: 我跟一些同行交流了. 我们认为, 由于我的书的一些设计缺陷, 我的书极有可能不适合真正的初学者学习行列式. 所以, 我不再宣传我的书适合初学者. 为此, 我修改了介绍.
顺便, 我还修正了几个存在约 18 个月的错误 (笔误). 我十分感谢同行. 我们共同进步!
不要想着从零入门啦。有些数学基础能入门就好了。
关于 “入门”, 我们一开始想, 按我们现在所说的, 有中学代数基础的人就可以学我们的书. 但是, 我们似乎忽视了, 这些人不一定 “成熟”. 我们举一个稍极端的例: IMO (the International Mathematical Olympiad) 的题几乎都是 “初等数学的问题”, 但我们几乎不会解这些题. 所以, 如您所见, 我们不强调 “入门” 了. 我们现在说, 读这本书, 理论地, 有中学代数基础就行. 我们实在没时间大改这本书了. 这也是没办法的办法.
我们的书真地让一个高中生更好地了解了行列式. 但这个高中生同志也是有不少竞赛基础的. 但我们知足了.
我们删去了我们的有些理想的, 有些天真的梦. 我们更现实了.
顺便一提, 虽然我们没有大钱, 但我们也有一些小钱. 当我们攒一定量的钱时, 我们办一个送书活动. 虽然本书的电子版过去, 现在, 未来一直都会在互联网免费地, 公开地, 开源地发布, 但我们想, 花一些小钱印并送出本书的纸质版或许可以宣传本书. 至于细节, 我们还在想.
最近, 我们又改了不少我们未曾发现的小错. 感谢热心的读者同志们. 新学期开始了, 或快要开始了. 我们欢迎有需要的同志们读我们的书.
同志们, 教学片又被重置了.
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我们想, 我们的书是充分地稳定的. 更详细的消息之后会被放出.
看到这个帖子，很是钦佩一个人能把一件事坚持做下去，虽然楼主一致在强调可能用处不大，但我到了不惑的年纪，看到这篇帖子，还是很感慨。仅就我自己而言，一个普通人，能做出多大贡献？一想到这些，我总是放下自己手里可能有点用，但无甚大用的小目标，从而蹉跎岁月。虽然贯彻了小众网站的无用论 
，但还是有点钦佩楼主。另，实体书的收集表已填，希望能拜读一下，让自己静下心来思考思考。
我感谢所有的读者. 我在最新的版本修正了一些错误.
巧合地, 今日是 2025 年 6 月 28 日. 6 与 28 都是完全数, 且 6.28 是 2\pi, 圆的周长与半径的比, 的近似, 故我想, 6 月 28 日是 “mirinda” (= worth marvelling at; 美妙的) 日. 2\,025 也是有意思的:
\begin{aligned}
2\,025
= {} &
1^6 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^0
\\
= {} &
5^2 + 20^2 + 40^2
\\
= {} &
27^2 + 36^2
\\
= {} &
(20 + 25)^2
\\
= {} &
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)^2
\\
= {} &
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 9^3
\\
= {} &
\det \begin{bmatrix}
1 & 5 & 14 & 12 \\
9 & 2 & 7 & 6 \\
13 & 8 & 3 & 11 \\
15 & 10 & 4 & 16 \\
\end{bmatrix}
\\
= {} &
\det \begin{bmatrix}
1 & 18 & 9 & 6 & 10 \\
5 & 24 & 13 & 7 & 12 \\
8 & 22 & 21 & 23 & 14 \\
16 & 2 & 15 & 4 & 17 \\
19 & 11 & 20 & 3 & 25 \\
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
我只列了几条.
同志们, 我修正了在《行列式入门》的一些错误. 《行列式入门》的 PDF 文件已有 > 500 页. 一些同志或许可用此书学习线性代数吧, 虽然, 此书其实不是线性代数. Anyway, happy determining!
(顺便, 我姑且固定封面的 “或 367 分了解行列式” 的 “367”. 它曾表示, 从 “第一章: 行列式” 的首页读到 “附录 C: 后日谈” 的尾页需要 367 分, 若读书的速率是 1 页/分——因为正文有 367 页. 不过, “due to technical issues”, 我以后不改它了——若我改它, 则对当前的版本, “367” 会被改为 “494”. 类似地, “版本 2π” 的 “2π” 也会被固定.)