设 A, B, C, D, E, F 是复数，且 A, B, C 不全为零。记
f(x, y) = Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F
我们将讨论可写 f(x, y) 为二个一次式的积的一个必要与充分条件。具体地说，就是存在复数 a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 使
f(x, y) = (a_0 x + a_1 y + a_2) (a_3 x + a_4 y + a_5)
的一个必要与充分条件。
注记
我会在之后的贴子里解释什么是复数。
这里，我为不清楚“必要与充分条件”的读者稍作解释。
设“若 p ，则 q ”是真命题。我们说， p 是 q 的充分条件（sufficient condition），且 q 是 p 的必要条件（necessary condition）。用符号写出来，就是
p \Rightarrow q \quad \text{or} \quad q \Leftarrow p
我们会遇到形如“ \ell 的一个必要与充分条件是 r ”的命题。换个说法，就是“ r 是 \ell 的一个必要与充分条件”。再分解一下，就是“ r 是 \ell 的一个必要条件”与“ r 是 \ell 的一个充分条件”这二个命题。根据定义，这相当于“若 \ell ，则 r ”与“若 r ，则 \ell ”都是真命题。也就是说， \ell 跟 r 是等价的（equivalent）。用符号写出来，就是
p \Leftrightarrow q
证明“ \ell 的一个必要与充分条件是 r ”时，我们会把它分为必要性（necessity）与充分性（sufficiency）二个部分。证明必要性，就是证明“ r 是 \ell 的一个必要条件”，也就是证明“若 \ell ，则 r ”是对的；换句话说，证明左边可以推出右边。证明充分性，就是证明“ r 是 \ell 的一个充分条件”，也就是证明“若 r ，则 \ell ”是对的；换句话说，证明右边可以推出左边。
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设 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ 是复数，且 $A$, $B$, $C$ 不全为零。记
$$
f(x, y) = Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F
$$
我们将讨论可写 $f(x, y)$ 为二个一次式的积的一个必要与充分条件。具体地说，就是存在复数 $a_0$, $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$ 使
$$
f(x, y) = (a_0 x + a_1 y + a_2) (a_3 x + a_4 y + a_5)
$$
的一个必要与充分条件。
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注记
我会在之后的贴子里解释什么是复数。
这里，我为不清楚“必要与充分条件”的读者稍作解释。
设“若 $p$ ，则 $q$ ”是真命题。我们说， $p$ 是 $q$ 的充分条件（sufficient condition），且 $q$ 是 $p$ 的必要条件（necessary condition）。用符号写出来，就是
$$
p \Rightarrow q \quad \text{or} \quad q \Leftarrow p
$$
我们会遇到形如“ $\ell$ 的一个必要与充分条件是 $r$ ”的命题。换个说法，就是“ $r$ 是 $\ell$ 的一个必要与充分条件”。再分解一下，就是“ $r$ 是 $\ell$ 的一个必要条件”与“ $r$ 是 $\ell$ 的一个充分条件”这二个命题。根据定义，这相当于“若 $\ell$ ，则 $r$ ”与“若 $r$ ，则 $\ell$ ”都是真命题。也就是说， $\ell$ 跟 $r$ 是等价的（equivalent）。用符号写出来，就是
$$
p \Leftrightarrow q
$$
证明“ $\ell$ 的一个必要与充分条件是 $r$ ”时，我们会把它分为必要性（necessity）与充分性（sufficiency）二个部分。证明必要性，就是证明“ $r$ 是 $\ell$ 的一个必要条件”，也就是证明“若 $\ell$ ，则 $r$ ”是对的；换句话说，证明左边可以推出右边。证明充分性，就是证明“ $r$ 是 $\ell$ 的一个充分条件”，也就是证明“若 $r$ ，则 $\ell$ ”是对的；换句话说，证明右边可以推出左边。