定义三角函数

大家好。我将作一个小小的才艺展示——定义三角函数。

先说清楚。本文的内容不影响各位如何应用三角函数;本文只从技术的角度定义二个最基本的三角函数,并讨论其简单的性质。

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大家从小学就学过圆周率 2\pi/2 。对,这是圆的周长与其直径的比。不过,您在小学是否想过,圆的周长与其直径的比会不会发生变化?

大家还学了扇形的面积。具体地说,若一个扇形的圆心角为 n^{\circ} ,半径为 r ,则其面积为

\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi n}{360} \cdot r^2

这个公式又是怎么来的呢?小学或初中的算学教科书似乎并没有严格地证明此事。

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大家从小学就学过圆周率 $2\pi/2$ 。对,这是圆的周长与其直径的比。不过,您在小学是否想过,圆的周长与其直径的比会不会发生变化?

大家还学了扇形的面积。具体地说,若一个扇形的圆心角为 $n^{\circ}$ ,半径为 $r$ ,则其面积为
$$
\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi n}{360} \cdot r^2
$$
这个公式又是怎么来的呢?小学或初中的算学教科书似乎并没有严格地证明此事。

注:大家不要过于在意我为什么写 2\pi/2 而不是 \pi 。如果一定要问原因,我只能说:我认为 2\pi\pi 更为自然。

您可能学过一点儿微积分。您可能也知道,积分可用于计算图形的面积。所以,您可能就想用积分计算扇形的面积。具体地,设扇形的圆心角为 \theta (这里采用“弧度制”,且假定 0 < \theta < 2\pi/4 ),且其半径为 r ,那么这个扇形的面积为

\frac{1}{2} \cdot r \cos \theta \cdot r \sin \theta + \underbrace{\int_{r \cos \theta}^{r} {\sqrt{r^2 - x^2} \,\mathrm{d}x}}_{I}

我们该如何计算积分 I 呢?一般来说,我们需要“三角换元”。具体地,作变量替换 x = r \sin \varphi ,其中 2\pi/4 - \theta \leq \varphi \leq 2\pi/4 。所以

I = \int_{2\pi/4 - \theta}^{2\pi/4} {\sqrt{r^2 - r^2 \sin^2 \varphi} \cdot r \cos \varphi \,\mathrm{d}\varphi} = r^2 \int_{2\pi/4 - \theta}^{2\pi/4} {\cos^2 \varphi \,\mathrm{d}\varphi}

因为

\cos^2 \varphi = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2\varphi

I = r^2 \cdot \bigg[ \frac{1}{2}\varphi + \frac{1}{4} \sin 2\varphi \bigg]_{2\pi/4 - \theta}^{2\pi/4} = \frac{1}{2} \theta r^2 - \frac{1}{2} r^2 \cos \theta \sin \theta

所以扇形的面积为 \frac{1}{2} \theta r^2

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您可能学过一点儿微积分。您可能也知道,积分可用于计算图形的面积。所以,您可能就想用积分计算扇形的面积。具体地,设扇形的圆心角为 $\theta$ (这里采用“弧度制”,且假定 $0 < \theta < 2\pi/4$ ),且其半径为 $r$ ,那么这个扇形的面积为
$$
\frac{1}{2} \cdot r \cos \theta \cdot r \sin \theta + \underbrace{\int_{r \cos \theta}^{r} {\sqrt{r^2 - x^2} \,\mathrm{d}x}}_{I}
$$
我们该如何计算积分 $I$ 呢?一般来说,我们需要“三角换元”。具体地,作变量替换 $x = r \sin \varphi$ ,其中 $2\pi/4 - \theta \leq \varphi \leq 2\pi/4$ 。所以
$$
I = \int_{2\pi/4 - \theta}^{2\pi/4} {\sqrt{r^2 - r^2 \sin^2 \varphi} \cdot r \cos \varphi \,\mathrm{d}\varphi} = r^2 \int_{2\pi/4 - \theta}^{2\pi/4} {\cos^2 \varphi \,\mathrm{d}\varphi}
$$
因为
$$
\cos^2 \varphi = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2\varphi
$$
故
$$
I = r^2 \cdot \bigg[  \frac{1}{2}\varphi + \frac{1}{4} \sin 2\varphi \bigg]_{2\pi/4 - \theta}^{2\pi/4} = \frac{1}{2} \theta r^2 - \frac{1}{2} r^2 \cos \theta \sin \theta
$$
所以扇形的面积为 $\frac{1}{2} \theta r^2$ 。

注意到,我们使用了三角函数的导数公式。具体地说,我们用到了 \sin 的导数是 \cos 这件事。

为什么 \sin 的导数是 \cos ?依导数的定义, \sin 于点 x 的导数为

d = \lim_{h \to 0} \frac{\sin {(x+h)} - \sin x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{{\sin x} (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}

我们学习过重要极限之一

\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1

从而

\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\cos h - 1)(\cos h + 1)}{h(\cos h + 1)} = -\frac{1}{2}\lim_{h \to 0} \sin h \cdot \frac{\sin h}{h} = 0

d = \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = \cos x
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注意到,我们使用了三角函数的导数公式。具体地说,我们用到了 $\sin$ 的导数是 $\cos$ 这件事。

为什么 $\sin$ 的导数是 $\cos$ ?依导数的定义, $\sin$ 于点 $x$ 的导数为
$$
d = \lim_{h \to 0} \frac{\sin {(x+h)} - \sin x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{{\sin x} (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}
$$
我们学习过重要极限之一
$$
\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1
$$
从而
$$
\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\cos h - 1)(\cos h + 1)}{h(\cos h + 1)} = -\frac{1}{2}\lim_{h \to 0}  \sin h \cdot \frac{\sin h}{h} = 0
$$
故
$$
d = \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = \cos x
$$

为什么 \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}1 呢?

如果您还记得微积分里的推导,就会想起如下的推理:

0 < \theta < 2\pi/4 。那么,由几何关系,知

\frac12 \cdot 1 \cdot \sin \theta < \frac12 \cdot \theta \cdot 1^2 < \frac12 \cdot 1 \cdot \tan \theta

也就是说

0 < 1 - \frac{\sin \theta}{\theta} < 1 - \cos \theta

因为

1 - \cos \theta = 2 \sin^2 {\frac{\theta}{2}} < 2 \bigg( \frac{\theta}{2} \bigg)^2

0 < 1 - \frac{\sin \theta}{\theta} < \frac{\theta^2}{2}

所以,若 0 < |h| < 2\pi/4 ,则

0 < 1 - \frac{\sin |h|}{|h|} < \frac{|h|^2}{2}

0 < 1 - \frac{\sin h}{h} < \frac{h^2}{2}

问题来了。“由几何关系”是什么意思?如果您还有印象,您可能会说,这不就是小三角形的面积小于一个扇形的面积,而此扇形的面积又小于大三角形的面积嘛!扇形的面积……啊,好家伙,循环论证了呢……

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为什么 $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$ 是 $1$ 呢?

如果您还记得微积分里的推导,就会想起如下的推理:

> 设 $0 < \theta < 2\pi/4$ 。那么,**由几何关系**,知
> $$
\frac12 \cdot 1 \cdot \sin \theta < \frac12 \cdot \theta \cdot 1^2 < \frac12 \cdot 1 \cdot \tan \theta
> $$
> 也就是说
> $$
0 < 1 - \frac{\sin \theta}{\theta} < 1 - \cos \theta
> $$
> 因为
> $$
1 - \cos \theta = 2 \sin^2 {\frac{\theta}{2}} < 2 \bigg( \frac{\theta}{2} \bigg)^2
> $$
> 故
> $$
0 < 1 - \frac{\sin \theta}{\theta} < \frac{\theta^2}{2}
> $$
> 所以,若 $0 < |h| < 2\pi/4$ ,则
> $$
0 < 1 - \frac{\sin |h|}{|h|} < \frac{|h|^2}{2}
> $$
> 故
> $$
0 < 1 - \frac{\sin h}{h} < \frac{h^2}{2}
> $$

问题来了。“由几何关系”是什么意思?如果您还有印象,您可能会说,这不就是小三角形的面积小于一个**扇形的面积**,而此扇形的面积又小于大三角形的面积嘛!扇形的面积……啊,好家伙,循环论证了呢……

小半日了,没什么讨论呢。既然这样,那我也不着急更新了。

好了。最近不忙了。继续吧。

我们已经揭示了以前可能从未察觉过的问题。我们承认扇形的面积,然后用它推导三角函数的导数公式——其实这没问题。不过,扇形的面积又该怎么算?这注定不能再用微积分了——至少,不能再使用前面提到的 \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 了。

其实呢,我们也可以换个想法。为什么不能避开几何概念来定义三角函数呢?

这个想法确实好。不过,它需要大家懂一些微积分。具体地说,它需要大家懂导数和幂级数。

不过,这些知识都跟三角函数没什么关系。当然,也跟几何没什么关系。

我们复习一下吧。

事先说明:我们需要复变函数,但我们不需要研究复变函数的可微性与导数。

A \subset \mathbb{R} 。设 f: A \to \mathbb{C} 。设 a \in A 。若存在 d \in \mathbb{C} ,使对任意 \varepsilon > 0 ,存在 \delta > 0 ,当 0 < |h| < \deltaa + h \in A 时,必有

\frac{|f(a+h) - f(a) - dh|}{|h|} < \varepsilon,

则说 f 于点 a 可微,且记 \mathrm{D}f(a) = d ,称 df 于点 a 的导数。若任取 x \in Af 于点 x 可微,则说 f 可微。相应地,称函数

\begin{aligned} \text{$\mathrm{D}f$:} \quad A & \to \mathbb{C}, \\ x & \mapsto \mathrm{D}f(x) \end{aligned}

f 的导数。

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设 $A \subset \mathbb{R}$ 。设 $f$: $A \to \mathbb{C}$ 。设 $a \in A$ 。若存在 $d \in \mathbb{C}$ ,使对任意 $\varepsilon > 0$ ,存在 $\delta > 0$ ,当 $0 < |h| < \delta$ 且 $a + h \in A$ 时,必有
$$
\frac{|f(a+h) - f(a) - dh|}{|h|} < \varepsilon,
$$
则说 $f$ 于点 $a$ 可微,且记 $\mathrm{D}f(a) = d$ ,称 $d$ 为 $f$ 于点 $a$ 的导数。若任取 $x \in A$ , $f$ 于点 $x$ 可微,则说 $f$ 可微。相应地,称函数
$$
\begin{aligned}
\text{$\mathrm{D}f$:} \quad
A & \to \mathbb{C},       \\
x & \mapsto \mathrm{D}f(x)
\end{aligned}
$$
为 $f$ 的导数。
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可以验证,实变复值函数的和、差、积、商的求导法则跟算学分析(或高等算学)里的求导法则完全一致。具体地说,设 f, g 都是 A\mathbb{C} 的函数。设 k, \ell 是复数。设 f, g 都于点 a 可微。设 h_0 = kf + \ell g, h_1 = fg 。则 h_0, h_1 都于点 a 可微,且

\begin{aligned} \mathrm{D} h_0 (a) & = k \mathrm{D} f (a) + \ell \mathrm{D} g (a), \\ \mathrm{D} h_1 (a) & = \mathrm{D} f(a) \cdot g(a) + f(a) \cdot \mathrm{D} g(a) \end{aligned}

f(a) \neq 0 ,且 h_2 = g/f ,则 h_2 于点 a 可微,且

\mathrm{D} h_2 (a) = \frac{\mathrm{D} g(a) \cdot f(a) - g(a) \cdot \mathrm{D} f(a)}{(f(a))^2}
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可以验证,实变复值函数的和、差、积、商的求导法则跟算学分析(或高等算学)里的求导法则完全一致。具体地说,设 $f$, $g$ 都是 $A$ 到 $\mathbb{C}$ 的函数。设 $k$, $\ell$ 是复数。设 $f$, $g$ 都于点 $a$ 可微。设 $h_0 = kf + \ell g$, $h_1 = fg$ 。则 $h_0$, $h_1$ 都于点 $a$ 可微,且
$$
\begin{aligned}
\mathrm{D} h_0 (a) & = k \mathrm{D} f (a) + \ell \mathrm{D} g (a),                               \\
\mathrm{D} h_1 (a) & = \mathrm{D} f(a) \cdot g(a) + f(a) \cdot \mathrm{D} g(a)
\end{aligned}
$$
若 $f(a) \neq 0$ ,且 $h_2 = g/f$ ,则 $h_2$ 于点 $a$ 可微,且
$$
\mathrm{D} h_2 (a) = \frac{\mathrm{D} g(a) \cdot f(a) - g(a) \cdot \mathrm{D} f(a)}{(f(a))^2}
$$

感谢分享,太久没看数学了,一边看一边自己跟着推公式,顺便复习
(补充一些小步骤和草图,我是数学学渣,可能有错误)

使用和角公式

\sin \left( \alpha +\beta \right) =\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta

可推

\frac{\sin\mathrm{(}x+h)-\sin x}{h}=\frac{\sin x\cdot \cosh +\cos x\cdot \sinh -\sin x}{h}
=\frac{\sin x\cdot \left( \cosh -1 \right) +\cos x\cdot \sinh}{h}

所以

d = \lim_{h \to 0} \frac{\sin {(x+h)} - \sin x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{{\sin x} (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}
\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos h-1}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)}
\frac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)}=\frac{\cos ^2h-1}{h(\cos h+1)}=\frac{-\sin ^2h}{h\left( \cos h+1 \right)}
\lim_{h\rightarrow 0} \frac{-\sin ^2h}{h\left( \cos h+1 \right)}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{-\sin ^2h}{h\left( 1+1 \right)}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{-\sin ^2h}{2h}=0

不等式这里我没搞懂

0<1-\frac{\sin \theta}{\theta}<1-\cos \theta

我记得平时证明这个重要极限是

\frac{1}{2}\sin \theta <\frac{1}{2}\theta <\frac{1}{2}\tan \theta
1<\frac{\theta}{\sin \theta}<\frac{1}{\cos \theta}
\cos \theta <\frac{\sin \theta}{\theta}<1

再夹逼定理,

楼主用这个不等式有什么内涵吗?


这里有意思,记得当初学高数经常被证明绕晕,我当时还纠结过数学证明有没有先后之分


这里跟不上了 :sob:,需要补一下相关知识

感谢您的讨论与补充!

我当初为什么不画图呢?零、我懒。一、我没有老鼠或笔,所以只能用键盘。二、我觉得愿意读这些文本的读者的脑海里会自然而然地想出图是什么——您不就画出来了嘛!


我看看您的疑惑。

事实上,在很多高等算学书里,为了展现夹逼定理的用处,会特意用 \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} 来演示。不过,严格地说,您还得论证

\lim_{h \to 0} \cos h = 1 \quad \text{and} \quad \lim_{h \to 0} 1 = 1

后者显然;前者也不难:

|\cos h - 1| = 1 - \cos h = 2\sin^2 {\frac{h}{2}} = 2\sin^2 {\frac{|h|}{2}} \leq 2 \bigg( \frac{h}{2} \bigg)^2 = \frac{h^2}{2}

然后继续对 h^2/2 讨论即可。其实我只不过是继续变形不等式罢了:

\begin{aligned} & \cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta} < 1 \\ \iff {} & \cos \theta - 1 < \frac{\sin \theta}{\theta} - 1 < 0 \\ \iff {} & 0 < 1 - \frac{\sin \theta}{\theta} < 1 - \cos \theta \\ \end{aligned}

也就是说,我直接套用极限的定义而已。没有什么特别的内涵。


至于您说需要补补导数、幂级数与复变函数的知识——其实您不必找复变函数论的教程。我接下来就是补充一些“够用的知识”,例如实变复值函数的导数与实变复值幂级数。

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幂级数是一个有用的工具。这里,我们简要地介绍一些事实(命题的论证可见于任意一本算学分析教程)。

\{ a_n \} 是复数列。设 w 为复数。称形式表达式

a_0 + a_1 (z - w) + a_2 (z - w)^2 + \dots = \sum_{n \geqslant 0} {a_n (z - w)^n}

为幂级数。一般地,若无歧义,我们用 \sum {a_n (z-w)^n} 表示上述幂级数。

\{ a_n \} 为复数列。固定复数 w 。设 z \in \mathbb{C} 。作数列

s_n = a_0 + a_1 (z - w) + \dots + a_{n-1} (z - w)^{n-1}

s_n 的极限为 s (有限数),则说幂级数 \sum {a_n (z-w)^n} 于点 z 收敛,并写 \sum {a_n (z-w)^n} = s ;否则,说幂级数 \sum {a_n (z-w)^n} 于点 z 发散。

下面是幂级数的一些重要结论。

设幂级数 \sum {a_n (z-w)^n}, \sum {b_n (z-w)^n} 收敛。设 k, \ell 是复数,且 c_n = ka_n + \ell b_n 。则 \sum {c_n (z-w)^n} 也收敛,且

\sum_{n \geqslant 0} {c_n (z-w)^n} = k\sum_{n \geqslant 0} {a_n (z-w)^n} + \ell \sum_{n \geqslant 0} {b_n (z-w)^n}

设幂级数 \sum {a_n (z-w)^n}D = \{ z \mid |z - w| < r \} 的每一点都收敛。则幂级数 \sum {na_n (z-w)^{n-1}} 也于 D 的每一点都收敛。

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幂级数是一个有用的工具。这里,我们简要地介绍一些事实(命题的论证可见于任意一本算学分析教程)。

设 $\{ a_n \}$ 是复数列。设 $w$ 为复数。称形式表达式
$$
a_0 + a_1 (z - w) + a_2 (z - w)^2 + \dots = \sum_{n \geqslant 0} {a_n (z - w)^n}
$$
为幂级数。一般地,若无歧义,我们用 $\sum {a_n (z-w)^n}$ 表示上述幂级数。

设 $\{ a_n \}$ 为复数列。固定复数 $w$ 。设 $z \in \mathbb{C}$ 。作数列
$$
s_n = a_0 + a_1 (z - w) + \dots + a_{n-1} (z - w)^{n-1}
$$
若 $s_n$ 的极限为 $s$ (有限数),则说幂级数 $\sum {a_n (z-w)^n}$ 于点 $z$ 收敛,并写 $\sum {a_n (z-w)^n} = s$ ;否则,说幂级数 $\sum {a_n (z-w)^n}$ 于点 $z$ 发散。

下面是幂级数的一些重要结论。

> 设幂级数 $\sum {a_n (z-w)^n}$, $\sum {b_n (z-w)^n}$ 收敛。设 $k$, $\ell$ 是复数,且 $c_n = ka_n + \ell b_n$ 。则 $\sum {c_n (z-w)^n}$ 也收敛,且
> $$
\sum_{n \geqslant 0} {c_n (z-w)^n} = k\sum_{n \geqslant 0} {a_n (z-w)^n} + \ell \sum_{n \geqslant 0} {b_n (z-w)^n}
> $$

> 设幂级数 $\sum {a_n (z-w)^n}$ 于 $D = \{ z \mid |z - w| < r \}$ 的每一点都收敛。则幂级数 $\sum {na_n (z-w)^{n-1}}$ 也于 $D$ 的每一点都收敛。

现在考虑幂级数的微分学。不过,我们限定变元 z 为实变元 x ;相应地,固定的复数 w 也变为固定的实数 a 。您不必担心因为没学复变函数而不理解这些结论;我们虽介绍复变函数,但只考虑实变函数的微分学。

设幂级数 \sum {a_n (x-a)^n}D = \{ x \mid |x - a| < R \} 的每一点都收敛。作函数

\begin{aligned} \text{$f$:} \quad D & \to \mathbb{C}, \\ x & \mapsto \sum_{n \geqslant 0} {a_n (x-a)^n}; \\ \text{$g$:} \quad D & \to \mathbb{C}, \\ x & \mapsto \sum_{n \geqslant 1} {n a_n (x-a)^{n-1}} \end{aligned}

f 可微,且 \mathrm{D}f = g

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现在考虑幂级数的微分学。不过,我们限定变元 $z$ 为实变元 $x$ ;相应地,固定的复数 $w$ 也变为固定的实数 $a$ 。您不必担心因为没学复变函数而不理解这些结论;我们虽介绍复变函数,但只考虑实变函数的微分学。

> 设幂级数 $\sum {a_n (x-a)^n}$ 于 $D = \{ x \mid |x - a| < R \}$ 的每一点都收敛。作函数
> $$
\begin{aligned}
    \text{$f$:} \quad
    D & \to \mathbb{C},                                   \\
    x & \mapsto \sum_{n \geqslant 0} {a_n (x-a)^n};       \\
    \text{$g$:} \quad
    D & \to \mathbb{C},                                   \\
    x & \mapsto \sum_{n \geqslant 1} {n a_n (x-a)^{n-1}}
\end{aligned}
> $$
> 则 $f$ 可微,且 $\mathrm{D}f = g$ 。

必要的补充知识就写到这里。大家不要看到“复”就怕;这里,真正涉及微积分的时候,变量都是实的。

大家可能听说过 Euler 公式:对任意实数 t

\exp {\mathrm{i} t} = \cos t + \mathrm{i} \sin t

这里 \exp {\mathrm{i} t}\mathrm{e}^{\mathrm{i} t} 。令 t = 2\pi/2 ,就可以得到

\mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{2\pi}{2}} = -1 + \mathrm{i}0

若写 2\pi/2\pi ,则

\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi} + 1 = 0

这就是很多算学家眼里的一个“美丽公式”。

不过,在我眼里,我认为 \mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}} = 1 就已经是最美的了——毕竟我坚信 2\pi\pi 更有算学上的意义。

我们接下来要怎么定义三角函数呢?我们会先从“指数函数”开始,再定义三角函数。

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大家可能听说过 Euler 公式:对任意实数 $t$ ,
$$
\exp {\mathrm{i} t} = \cos t + \mathrm{i} \sin t
$$
这里 $\exp {\mathrm{i} t}$ 指 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}$ 。令 $t = 2\pi/2$ ,就可以得到
$$
\mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{2\pi}{2}} = -1 + \mathrm{i}0
$$
若写 $2\pi/2$ 为 $\pi$ ,则
$$
\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi} + 1 = 0
$$
这就是很多算学家眼里的一个“美丽公式”。

不过,在我眼里,我认为 $\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}} = 1$ 就已经是最美的了——毕竟我坚信 $2\pi$ 比 $\pi$ 更有算学上的意义。

我们接下来要怎么定义三角函数呢?我们会先从“指数函数”开始,再定义三角函数。

在接下来的讨论里,请各位视 2\pi一个文字,而不是 2\pi 的组合——这就像大家看到 \cos ,也不会强拆其为 \mathrm{c}, \mathrm{o}, \mathrm{s} 三个文字那样。


比方说,我一般叫 2\pi 为“兔派”——不也有一些字母的读音不是单音节吗,比方说, \alpha, \beta, \gamma

z 为复数。设 a_n = 1/n! 。考虑幂级数 \sum a_n z^n 。若 z = 0 ,此幂级数显然收敛,且其值为 1/0! = 1 。若 z \neq 0 ,则因

\frac{|a_{n+1} z^{n+1}|}{|a_n z^n|} = \frac{|z|}{n+1} \to 0 \quad (n \to 0)

故此幂级数仍收敛。由此,我们定义“复指数函数”为

\begin{aligned} \text{$\exp$:} \quad \mathbb{C} & \to \mathbb{C}, \\ z & \mapsto \sum_{n \geqslant 0} {\frac{z^n}{n!}} = \exp z. \end{aligned}
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设 $z$ 为复数。设 $a_n = 1/n!$ 。考虑幂级数 $\sum a_n z^n$ 。若 $z = 0$ ,此幂级数显然收敛,且其值为 $1/0! = 1$ 。若 $z \neq 0$ ,则因
$$
\frac{|a_{n+1} z^{n+1}|}{|a_n z^n|} = \frac{|z|}{n+1} \to 0 \quad (n \to 0)
$$
故此幂级数仍收敛。由此,我们定义“复指数函数”为
$$
\begin{aligned}
\text{$\exp$:} \quad
\mathbb{C} & \to \mathbb{C},                                         \\
z          & \mapsto \sum_{n \geqslant 0} {\frac{z^n}{n!}} = \exp z.
\end{aligned}
$$