几乎无变量的微积分

大家好。

本书是一本讨论一元函数微积分的算普(算学普及)读物。说是“算普”,是因为它并不打算从零教您微积分;相反,我假定您学了微积分,这给我带来了很多便利。我不必担心“我写的例不适合初学者”;我可以专心地展现这本书最想展现的对象——(几乎)无变量的微积分。(再具体一些,就是:几乎无变量的导数、不定积分、积分演算。)

或许,您还记得,在微积分里,我们一般说“函数 f(x) ”。我们计算函数 f(x) 的导数时,一般使用记号

f^{\prime}(x) \text{$\quad$ or $\quad$} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)

我们计算函数 f(x) 的不定积分时,一般写

\int {f(x)\,\mathrm{d}x}

我们计算函数 f(x) 的积分时,一般写

\int_{a}^{b} {f(x)\,\mathrm{d}x}

这些记号好吗?其实不错,因为这是经得起时间与算学家的考验的符号。我自己也承认,我初学微积分与算学分析时,用的就是这些经典的记号。不过,为什么我还要搞“无变量的微积分”呢?(直接原因是太无聊,无事可干。)先看“函数”的通俗的定义。

一般地,如果变量 y 随着变量 x 而变化,并且对于 x 取的每一个值, y 都有唯一的一个值与它对应,那么称 yx 的函数,记作 y = f(x) 。这里的 f(x) 是 a function of xx 的函数)的简记。这时叫 x 作自变量,叫 y 作因变量。对于自变量 x 取的每一个值 a ,称因变量 y 的对应值为函数值,并记其作 f(a)

您可以看到,这里的“函数”的定义还是很直观的。它以运动的观点定义了函数为何物。这也是早期的微积分里的“函数”。不过,为了严密,算学家用“抽象的方式”重定义了很多算学对象。函数也不例外。我曾提到,习惯上,我们说函数时,一般会带上“自变量”;不过,严密的函数的定义里没有“变量”,也没有“变化”“对应”这些含糊不清的说法。自然地,直接说“function”就好,而不再需要“of x ”。不过,主流的微积分的记号并没有跟进,仍沿用老记号。我不禁思考:难道微积分就必须要变量吗?不要变量行不行?我思考了一周,给出了此问题的部分解答:在讨论实数集的子集到实数集的子集的函数的微积分时,确实可以“丢掉”变量。这也是本书的主要内容。

跟去年一样,我还是开源本书的乳胶代码,并使用 CC0 许可协议。这样,您可以方便地为本书(或本书讨论的对象)作出贡献。

您可以去以下的二个网址的任意一个获取本书的最新版:

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我的理解是,假定N代表整數數,N’={1,2}是它的子集,那麼枚舉函數F(N’)就沒有變量,這樣「丢掉」變量嗎?

似乎不是这样;而且,我似乎不太懂什么是枚举函数。


我姑且说一下比较现代的函数的定义。

A, B 是二个集。定义

A \times B = \{ (a, b) \mid \text{$a \in A$, $b \in B$} \}

其中 (a, b) 是“有序对”。说二个有序对 (a, b)(c, d) 相等,就是说 a = cb = d

A, B 是二个集。设 fA \times B 的子集。若 f 适合如下二条件,就说 fAB函数

  • 对每一个 a \in A ,都存在 b \in B ,使 (a, b) \in f
  • (a, b) \in f ,且 (a, c) \in f ,则 b = c

在这个现代的函数的定义里,并没有什么“对应”“变化”这种模糊的词,也不需要什么“自变量”或“因变量”。

Therefore, instead of the function f(x), we simply say the function f.

Instead of f^{\prime} (x) or \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x), we simply write \mathrm{D}f.

Instead of \displaystyle \int {f(x)\,\mathrm{d}x}, we simply write \displaystyle \int {f}.

Instead of \displaystyle \int_{a}^{b} {f(x)\,\mathrm{d}x}, we simply write \displaystyle \int_{a}^{b} {f}.

Instead of making the substitution x = \varphi (t) into f(x), we make the composition f \circ \varphi.

这个“现代”定义表达的还是两个集合的映射关系,不过引入一个扩充的集合,确实从语言描述上与集合的运算关系的表述保持一致性,映射、对应这种表述确实不太形式化,有点偏口语了。

对,不管怎么定义,本质还是不变。

我也说了,为严谨,算学家重定义了很多对象;即使抽象,但为了严谨,该牺牲的必须得牺牲。当然,从教学来看,直接拿现代的定义教刚入门的学生显然是不友好的。这也是直观的定义仍被保留的原因之一。

如果比较两种描述方法的话,集合的方法其实更加容易理解,在这个基础之上,需要把握的东西仅包括元素和集合两个对象概念,以及元素与集合、集合与集合之间的运算关系,剩下的就是各种新集合的生成方法,所有的对象都是针对元素和集合两类对象做的闭合运算,但在映射的描述之下,并没有对映射关系 f 的本质进行规定,它可能既不是集合,也不是元素,这样实际上是变得更加复杂了,这在自然语言中是一种下意识的习惯,为了阐释 A 而抛出一个新概念 C ,为了阐释 C ,又不得不引入概念 D ,看似解释清楚了,实则解释一直被延迟,能指不停的滑动。

确实。我也这么认为。这或许就是严谨的魅力吧。

一周快过去了;可是,我收到的评论与建议太少了。不过,写书本来就是低回报的(尤其是讨论的对象过于基础时)。毕竟,没有人帮我 proofread 本书。

尽管如此,我很感激现有的评论与意见(我承认,我刚推出本书的版本 6 时,过于自信了)。而且,我在这段时间里积累了更多的乳胶经验。我很感谢宏硬的视觉工作室代码,这是一个界面现代的文本编辑器;我很感谢维姆模式,这是一个让我能在键盘上跳舞的工具;我很感谢 Donald Knuth 与 Leslie Lamport 等人的工作,他们使我用上像乳胶这么棒的字处理应用。我很感谢一位取不来名字的网友。

我还想感谢很多人与很多组织;不过,因为地方太小,写不下了。我希望他们不要太生气;有机会时,我一定会补上的。

不管有無變量,我只關注它是否能解決實際問題。比如「二弧相交,求重疊陰影面積」等,或者是證明歐拉公式。

你可以選一個題目,之後用有變量的微積分解題,再用你發明的「無變量微積分」来解,這樣我們大概就能知道它們的區別了。

我個人理解是,它們只是寫法不同,本質意義是一樣的。

Let there be no misunderstanding.

事实上,我在书里讨论的对象也是可以解决实际问题的(不过我没有讨论这一部分,因为本书还不是完备的算学教材)。的确,高角度地,写法是不一样,本质一样(假如本质不一样,那一定是我错了)。

当然,请允许我指出二点:

  • 图形的面积有待定义。中小学的算学教材从未严谨地定义过面积为何物。我个人倾向于读者有更多知识储备后再讨论此问题。
  • 严谨地,Euler 公式 \mathrm{e}^{\mathrm{i}x} = \cos {x} + \mathrm{i} \sin {x} 的左侧并不是普通的指数函数;左侧也有待定义。

不过,算学的符号也并不是真地被随意决定的。一般而言,有启发性的符号会使读者更容易地吸收所讨论的对象。

本书有一些例。

我没有发明无变量微积分;虽然我独立地完成了大部分工作,不过前人早就对此有一些研究。站在巨人的肩膀上,我也对我的符号作出了改进(本书的记号就是改进后的)。


我并没有说有变量的微积分不好;我并没有我写的书就一定优于传统的书。

可以如此简单地说出我的目的:既然函数的符号都有主流的现代版本,那我就作一个适配新记号的微积分。

我曾提到过函数的现代的定义;这不是我编造的;it has been generally accepted. 只是,(一元函数)微积分的记号还没跟进,故我尝试作一套新记号。这本书偏理论,故读者应当从微积分的法则的论证里体会到摆脱变量的好处。我只是想让微积分更有条理一些。

当然了,我也承认本书还是比较抽象的。毕竟,传统的教法有其无可替代的优势。

用latex生成了一整本書確實很難得。

乳胶确实比 Word 或 LibreOffice Writer 难上手。不过,这也不是首次用乳胶写一整本书了。熟能生巧,毕竟。

观后感:
到达数学最高学分析学,诶呀这不函数空间吗,看看远方的于品吧家人们
(开个小玩笑,书很棒)

我也读过于品先生的算学分析讲义。印象深刻。


谢谢。

「面積」確實有待定義,通常我們以「邊長為一單位的正方形的面積」作為一個面積單位。但是這並不是絕對的,或許也可用「直徑為一的圓的面積」作為一面積單位。

只是不管以何圖形為單位面積基準,我看到「單位長度的平方」與「單位面積」是成比例關係的。

嗯,确实是这样的。

试试墨干编辑器,或许可以作为LaTeX的替代

您好。我体验了一下您的墨干编辑器。假如我还跟以前一样经常用鼠标,那我绝对会喜欢这种所见即所得的模式。可惜,我现在深陷 Vim 式操作,我自己也搞了很多适合自己的 snippets,所以它对现在的我而言用处没那么大了。

墨干编辑器可以不用鼠标的,比如输入

\alpha+\beta

可以有以下两种键盘输入方式

$ \ a l p h a enter + \ b e t a enter
$ a tab + b tab