大家好。
本书是一本讨论一元函数微积分的算普（算学普及）读物。说是“算普”，是因为它并不打算从零教您微积分；相反，我假定您学了微积分，这给我带来了很多便利。我不必担心“我写的例不适合初学者”；我可以专心地展现这本书最想展现的对象——（几乎）无变量的微积分。（再具体一些，就是：几乎无变量的导数、不定积分、积分演算。）
或许，您还记得，在微积分里，我们一般说“函数 f(x) ”。我们计算函数 f(x) 的导数时，一般使用记号
f^{\prime}(x) \text{$\quad$ or $\quad$} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)
我们计算函数 f(x) 的不定积分时，一般写
\int {f(x)\,\mathrm{d}x}
我们计算函数 f(x) 的积分时，一般写
\int_{a}^{b} {f(x)\,\mathrm{d}x}
这些记号好吗？其实不错，因为这是经得起时间与算学家的考验的符号。我自己也承认，我初学微积分与算学分析时，用的就是这些经典的记号。不过，为什么我还要搞“无变量的微积分”呢？（直接原因是太无聊，无事可干。）先看“函数”的通俗的定义。
一般地，如果变量 y 随着变量 x 而变化，并且对于 x 取的每一个值， y 都有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数，记作 y = f(x) 。这里的 f(x) 是 a function of x （ x 的函数）的简记。这时叫 x 作自变量，叫 y 作因变量。对于自变量 x 取的每一个值 a ，称因变量 y 的对应值为函数值，并记其作 f(a) 。
您可以看到，这里的“函数”的定义还是很直观的。它以运动的观点定义了函数为何物。这也是早期的微积分里的“函数”。不过，为了严密，算学家用“抽象的方式”重定义了很多算学对象。函数也不例外。我曾提到，习惯上，我们说函数时，一般会带上“自变量”；不过，严密的函数的定义里没有“变量”，也没有“变化”“对应”这些含糊不清的说法。自然地，直接说“function”就好，而不再需要“of x ”。不过，主流的微积分的记号并没有跟进，仍沿用老记号。我不禁思考：难道微积分就必须要变量吗？不要变量行不行？我思考了一周，给出了此问题的部分解答：在讨论实数集的子集到实数集的子集的函数的微积分时，确实可以“丢掉”变量。这也是本书的主要内容。
跟去年一样，我还是开源本书的乳胶代码，并使用 CC0 许可协议。这样，您可以方便地为本书（或本书讨论的对象）作出贡献。
您可以去以下的二个网址的任意一个获取本书的最新版：
4 个赞
我的理解是，假定N代表整數數，N’={1,2}是它的子集，那麼枚舉函數F(N’)就沒有變量，這樣「丢掉」變量嗎？
似乎不是这样；而且，我似乎不太懂什么是枚举函数。
Septsea:
或许，您还记得，在微积分里，我们一般说“函数 f(x) ”。我们计算函数 f(x) 的导数时，一般使用记号
f^{\prime}(x) \text{$\quad$ or $\quad$} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)
我们计算函数 f(x) 的不定积分时，一般写
\int {f(x)\,\mathrm{d}x}
我们计算函数 f(x) 的积分时，一般写
\int_{a}^{b} {f(x)\,\mathrm{d}x}
我姑且说一下比较现代的函数的定义。
设 A , B 是二个集。定义
A \times B = \{ (a, b) \mid \text{$a \in A$, $b \in B$} \}
其中 (a, b) 是“有序对”。说二个有序对 (a, b) 与 (c, d) 相等，就是说 a = c 且 b = d 。
设 A , B 是二个集。设 f 是 A \times B 的子集。若 f 适合如下二条件，就说 f 是 A 到 B 的函数 ：
对每一个 a \in A ，都存在 b \in B ，使 (a, b) \in f ；
若 (a, b) \in f ，且 (a, c) \in f ，则 b = c 。
在这个现代的函数的定义里，并没有什么“对应”“变化”这种模糊的词，也不需要什么“自变量”或“因变量”。
Therefore, instead of the function f(x) , we simply say the function f .
Instead of f^{\prime} (x) or \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) , we simply write \mathrm{D}f .
Instead of \displaystyle \int {f(x)\,\mathrm{d}x} , we simply write \displaystyle \int {f} .
Instead of \displaystyle \int_{a}^{b} {f(x)\,\mathrm{d}x} , we simply write \displaystyle \int_{a}^{b} {f} .
Instead of making the substitution x = \varphi (t) into f(x) , we make the composition f \circ \varphi .
这个“现代”定义表达的还是两个集合的映射关系，不过引入一个扩充的集合，确实从语言描述上与集合的运算关系的表述保持一致性，映射、对应这种表述确实不太形式化，有点偏口语了。
对，不管怎么定义，本质还是不变。
我也说了，为严谨，算学家重定义 了很多对象；即使抽象，但为了严谨，该牺牲的必须得牺牲。当然，从教学来看，直接拿现代的定义教刚入门的学生显然是不友好的。这也是直观的定义仍被保留的原因之一。
如果比较两种描述方法的话，集合的方法其实更加容易理解，在这个基础之上，需要把握的东西仅包括元素和集合两个对象概念，以及元素与集合、集合与集合之间的运算关系，剩下的就是各种新集合的生成方法，所有的对象都是针对元素和集合两类对象做的闭合运算，但在映射的描述之下，并没有对映射关系 f 的本质进行规定，它可能既不是集合，也不是元素，这样实际上是变得更加复杂了，这在自然语言中是一种下意识的习惯，为了阐释 A 而抛出一个新概念 C ，为了阐释 C ，又不得不引入概念 D ，看似解释清楚了，实则解释一直被延迟，能指不停的滑动。
一周快过去了；可是，我收到的评论与建议太少了。不过，写书本来就是低回报的（尤其是讨论的对象过于基础时）。毕竟，没有人帮我 proofread 本书。
尽管如此，我很感激现有的评论与意见（我承认，我刚推出本书的版本 6 时，过于自信了）。而且，我在这段时间里积累了更多的乳胶经验。我很感谢宏硬的视觉工作室代码，这是一个界面现代的文本编辑器；我很感谢维姆模式，这是一个让我能在键盘上跳舞的工具；我很感谢 Donald Knuth 与 Leslie Lamport 等人的工作，他们使我用上像乳胶这么棒的字处理应用。我很感谢一位取不来名字的网友。
我还想感谢很多人与很多组织；不过，因为地方太小，写不下了。我希望他们不要太生气；有机会时，我一定会补上的。
ejmoog
2022 年4 月 18 日 01:37
10
不管有無變量，我只關注它是否能解決實際問題。比如「二弧相交，求重疊陰影面積」等，或者是證明歐拉公式。
你可以選一個題目，之後用有變量的微積分解題，再用你發明的「無變量微積分」来解，這樣我們大概就能知道它們的區別了。
我個人理解是，它們只是寫法不同，本質意義是一樣的。
Let there be no misunderstanding.
事实上，我在书里讨论的对象也是可以解决实际问题的（不过我没有讨论这一部分，因为本书还不是完备的算学教材）。的确，高角度地，写法是不一样，本质一样（假如本质不一样，那一定是我错了）。
当然，请允许我指出二点：
图形的面积有待定义。中小学的算学教材从未严谨地定义过面积为何物。我个人倾向于读者有更多知识储备后再讨论此问题。
严谨地，Euler 公式 \mathrm{e}^{\mathrm{i}x} = \cos {x} + \mathrm{i} \sin {x} 的左侧并不是普通的指数函数；左侧也有待定义。
不过，算学的符号也并不是真地被随意决定的。一般而言，有启发性的符号会使读者更容易地吸收所讨论的对象。
本书有一些例。
我没有发明 无变量微积分；虽然我独立地完成了大部分工作，不过前人早就对此有一些研究。站在巨人的肩膀上，我也对我的符号作出了改进（本书的记号就是改进后的）。
我并没有说有变量的微积分不好；我并没有我写的书就一定优于传统的书。
可以如此简单地说出我的目的：既然函数的符号都有主流的现代版本，那我就作一个适配新记号的微积分。
我曾提到过函数的现代的定义；这不是我编造的；it has been generally accepted. 只是，（一元函数）微积分的记号还没跟进，故我尝试作一套新记号。这本书偏理论，故读者应当从微积分的法则的论证 里体会到摆脱变量的好处。我只是想让微积分更有条理一些。
当然了，我也承认本书还是比较抽象的。毕竟，传统的教法有其无可替代的优势。
乳胶确实比 Word 或 LibreOffice Writer 难上手。不过，这也不是首次用乳胶写一整本书了。熟能生巧，毕竟。
观后感：
ejmoog
2022 年4 月 27 日 10:17
16
「面積」確實有待定義，通常我們以「邊長為一單位的正方形的面積」作為一個面積單位。但是這並不是絕對的，或許也可用「直徑為一的圓的面積」作為一面積單位。
只是不管以何圖形為單位面積基準，我看到「單位長度的平方」與「單位面積」是成比例關係的。
您好。我体验了一下您的墨干编辑器。假如我还跟以前一样经常用鼠标，那我绝对会喜欢这种所见即所得的模式。可惜，我现在深陷 Vim 式操作，我自己也搞了很多适合自己的 snippets，所以它对现在的我而言用处没那么大了。
墨干编辑器可以不用鼠标的，比如输入
\alpha+\beta
可以有以下两种键盘输入方式
$ \ a l p h a enter + \ b e t a enter
$ a tab + b tab