设函数 f: A \to B ，其中 A, B 都是 \mathbb{C} 的子集，且 0 \in B 。若 a \in A 使 f(a) = 0 ，则说 a 是 f 的一个根。
现在我们要指出 \cos 的一个非常重要的性质—— \cos 有最小的正根。
为此，我们需要 7 个不等式。不过，幸运地，这些不等式很有规律。
以下，设 P 为全体非负实数作成的集。
先从最简单的开始。
不等式 0：对任意非负实数 x ，有 \cos x \leq 1 。
证：因为
\cos x \leq |\cos x| = \sqrt{\cos^2 x} \leq \sqrt{\cos^2 x + \sin^2 x} = 1
下面的不等式都是前一个的推论。我们反复使用了微分学里导数的符号与函数的增减的关系。
不等式 1：对任意非负实数 x ，有 \sin x \leq x 。
证：设
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
P & \to \mathbb{R}, \\
x & \mapsto x - \sin x
\end{aligned}
从而 f(0) = 0 ，且 \mathrm{D} f(x) = 1 - \cos x \geq 0 （不等式 0）。所以 f 是增函数。
不等式 2：对任意非负实数 x ，有 \cos x \geq 1 - \frac{x^2}{2} 。
证：设
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
P & \to \mathbb{R}, \\
x & \mapsto \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}
\end{aligned}
从而 f(0) = 0 ，且 \mathrm{D} f(x) = x - \sin x \geq 0 （不等式 1）。所以 f 是增函数。
不等式 3：对任意非负实数 x ，有 \sin x \geq x - \frac{x^3}{6} 。
证：设
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
P & \to \mathbb{R}, \\
x & \mapsto \sin x - x + \frac{x^3}{6}
\end{aligned}
从而 f(0) = 0 ，且 \mathrm{D} f(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2} \geq 0 （不等式 2）。所以 f 是增函数。
不等式 4：对任意非负实数 x ，有 \cos x \leq 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} 。
证：设
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
P & \to \mathbb{R}, \\
x & \mapsto 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cos x
\end{aligned}
从而 f(0) = 0 ，且 \mathrm{D} f(x) = \sin x - x + \frac{x^3}{6} \geq 0 （不等式 3）。所以 f 是增函数。
不等式 5：对任意非负实数 x ，有 \sin x \leq x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} 。
证：设
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
P & \to \mathbb{R}, \\
x & \mapsto x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \sin x
\end{aligned}
从而 f(0) = 0 ，且 \mathrm{D} f(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cos x \geq 0 （不等式 4）。所以 f 是增函数。
不等式 6：对任意非负实数 x ，有 \cos x \geq 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} 。
证：设
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
P & \to \mathbb{R}, \\
x & \mapsto \cos x - 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720}
\end{aligned}
从而 f(0) = 0 ，且 \mathrm{D} f(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \sin x \geq 0 （不等式 5）。所以 f 是增函数。
好。现在我们总算可以说明， \cos 有最小的正根了。
首先说明 \cos 有正根。很简单。首先，既然 \cos 可微，那 \cos 必连续。其次，由不等式 6 可知，
\cos {\frac{3}{2}} \geq 1 - \frac{(3/2)^2}{2} + \frac{(3/2)^4}{24} - \frac{(3/2)^6}{720} = \frac{359}{5\,120} > 0
由不等式 4 可知
\cos {\frac{8}{5}} \leq 1 - \frac{(8/5)^2}{2} + \frac{(8/5)^4}{24} = -\frac{13}{1\,875} < 0
所以， \cos 在开区间 (1.5, 1.6) 内至少有一个根。当然了， \cos 肯定也在 [0, 2] 上至少有一个根。
然后说明 \cos 有最小正根。由不等式 3，当 0 < x < \sqrt{6} 时，
\sin x \geq x - \frac{x^3}{6} = \frac{x}{6}(6 - x^2) > 0
因为 \mathrm{D} \cos = -\sin ，故 \cos 在 [0, 2] 上（严格）递减。这样， \cos 在 [0, 2] 里至多有一个根。
综上即得结论。
现在我们定义算学的一个相当重要的常数 2\pi （注意，这里 2\pi 是整体记号，是一个文字！）。设 \varphi 是 \cos 的最小正根。定义 2\pi 为 \varphi 的 4 倍。
根据上面的讨论，我们知道， 2\pi 比 6 大，但比 6.4 小。（其实，后面的不等式只是尽可能精确地指出 2\pi 在哪儿罢了。若读者不关心 2\pi 的整数部分，那么读者可用不等式 2 与 4 得出 4 < 2\pi < 8 。若读者想尽可能挖掘不等式 6 的价值，读者可用其得到 \cos {1.55} > 0 ，从而得到 6.2 < 2\pi < 6.4 。）
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设函数 $f$: $A \to B$ ，其中 $A$, $B$ 都是 $\mathbb{C}$ 的子集，且 $0 \in B$ 。若 $a \in A$ 使 $f(a) = 0$ ，则说 $a$ 是 $f$ 的一个根。
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现在我们要指出 $\cos$ 的一个非常重要的性质—— $\cos$ 有**最小的正根**。
为此，我们需要 7 个不等式。不过，幸运地，这些不等式很有规律。
以下，设 $P$ 为全体**非负实数**作成的集。
先从最简单的开始。
**不等式 0**：对任意非负实数 $x$ ，有 $\cos x \leq 1$ 。
证：因为
$$
\cos x \leq |\cos x| = \sqrt{\cos^2 x} \leq \sqrt{\cos^2 x + \sin^2 x} = 1
$$
下面的不等式都是前一个的推论。我们反复使用了微分学里导数的符号与函数的增减的关系。
**不等式 1**：对任意非负实数 $x$ ，有 $\sin x \leq x$ 。
证：设
$$
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
P & \to \mathbb{R}, \\
x & \mapsto x - \sin x
\end{aligned}
$$
从而 $f(0) = 0$ ，且 $\mathrm{D} f(x) = 1 - \cos x \geq 0$ （不等式 0）。所以 $f$ 是增函数。
**不等式 2**：对任意非负实数 $x$ ，有 $\cos x \geq 1 - \frac{x^2}{2}$ 。
证：设
$$
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
P & \to \mathbb{R}, \\
x & \mapsto \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}
\end{aligned}
$$
从而 $f(0) = 0$ ，且 $\mathrm{D} f(x) = x - \sin x \geq 0$ （不等式 1）。所以 $f$ 是增函数。
**不等式 3**：对任意非负实数 $x$ ，有 $\sin x \geq x - \frac{x^3}{6}$ 。
证：设
$$
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
P & \to \mathbb{R}, \\
x & \mapsto \sin x - x + \frac{x^3}{6}
\end{aligned}
$$
从而 $f(0) = 0$ ，且 $\mathrm{D} f(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2} \geq 0$ （不等式 2）。所以 $f$ 是增函数。
**不等式 4**：对任意非负实数 $x$ ，有 $\cos x \leq 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ 。
证：设
$$
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
P & \to \mathbb{R}, \\
x & \mapsto 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cos x
\end{aligned}
$$
从而 $f(0) = 0$ ，且 $\mathrm{D} f(x) = \sin x - x + \frac{x^3}{6} \geq 0$ （不等式 3）。所以 $f$ 是增函数。
**不等式 5**：对任意非负实数 $x$ ，有 $\sin x \leq x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$ 。
证：设
$$
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
P & \to \mathbb{R}, \\
x & \mapsto x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \sin x
\end{aligned}
$$
从而 $f(0) = 0$ ，且 $\mathrm{D} f(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cos x \geq 0$ （不等式 4）。所以 $f$ 是增函数。
**不等式 6**：对任意非负实数 $x$ ，有 $\cos x \geq 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720}$ 。
证：设
$$
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
P & \to \mathbb{R}, \\
x & \mapsto \cos x - 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720}
\end{aligned}
$$
从而 $f(0) = 0$ ，且 $\mathrm{D} f(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \sin x \geq 0$ （不等式 5）。所以 $f$ 是增函数。
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好。现在我们总算可以说明， $\cos$ 有最小的正根了。
首先说明 $\cos$ **有**正根。很简单。首先，既然 $\cos$ 可微，那 $\cos$ 必连续。其次，由不等式 6 可知，
$$
\cos {\frac{3}{2}} \geq 1 - \frac{(3/2)^2}{2} + \frac{(3/2)^4}{24} - \frac{(3/2)^6}{720} = \frac{359}{5\,120} > 0
$$
由不等式 4 可知
$$
\cos {\frac{8}{5}} \leq 1 - \frac{(8/5)^2}{2} + \frac{(8/5)^4}{24} = -\frac{13}{1\,875} < 0
$$
所以， $\cos$ 在开区间 $(1.5, 1.6)$ 内**至少有一个**根。当然了， $\cos$ 肯定也在 $[0, 2]$ 上**至少有一个**根。
然后说明 $\cos$ 有**最小正根**。由不等式 3，当 $0 < x < \sqrt{6}$ 时，
$$
\sin x \geq x - \frac{x^3}{6} = \frac{x}{6}(6 - x^2) > 0
$$
因为 $\mathrm{D} \cos = -\sin$ ，故 $\cos$ 在 $[0, 2]$ 上（严格）递减。这样， $\cos$ 在 $[0, 2]$ 里**至多有一个**根。
综上即得结论。
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现在我们定义算学的一个相当重要的常数 $2\pi$ （注意，这里 $2\pi$ 是整体记号，是一个文字！）。设 $\varphi$ 是 $\cos$ 的最小正根。定义 $2\pi$ 为 $\varphi$ 的 $4$ 倍。
根据上面的讨论，我们知道， $2\pi$ 比 $6$ 大，但比 $6.4$ 小。（其实，后面的不等式只是尽可能精确地指出 $2\pi$ 在哪儿罢了。若读者不关心 $2\pi$ 的整数部分，那么读者可用不等式 2 与 4 得出 $4 < 2\pi < 8$ 。若读者想尽可能挖掘不等式 6 的价值，读者可用其得到 $\cos {1.55} > 0$ ，从而得到 $6.2 < 2\pi < 6.4$ 。）
