回想起我们引入过的记号
\begin{aligned}
\text{$E_w$:} \quad
\mathbb{R} & \to \mathbb{C}, \\
x & \mapsto \exp {wx}
\end{aligned}
因为 \cos^2 + \sin^2 = 1 ，故 E_\mathrm{i} (\mathbb{R}) \subset U 。不过， E_\mathrm{i} (\mathbb{R}) 究竟是什么呢？设 A = [0, 2\pi) 。我们将证明， E_\mathrm{i} (A) = U 。换句话说，对单位圆上的任意一点 z ，总可以找到 [0, 2\pi) 的数 t ，使 E_\mathrm{i} (t) = \exp {\mathrm{i} t} = z 。因为 2\pi 也是 E_\mathrm{i} 的周期，故 E_\mathrm{i} (\mathbb{R}) = U 。
我们拆此事为若干小问题来解决。
0. 任取开区间 (0, 1) 的数 c ，必存在 t \in (0, 2\pi/4) 使 \cos t = c 。
考虑
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
[0, 2\pi/4] & \to \mathbb{R}, \\
x & \mapsto \cos {x} - c
\end{aligned}
则 f 为连续函数，且 f(0) = 1 - c > 0 ， f(2\pi/4) = -c < 0 。从而存在 t \in (0, 2\pi/4) 使 f(t) = 0 。
1. 若 u > 0, v > 0, u^2 + v^2 = 1 ，则存在 t \in (0, 2\pi/4) 使 \exp {\mathrm{i}t} = u + \mathrm{i}v 。
我们知道，存在 t \in (0, 2\pi/4) 使 \cos t = u 。所以
\sin t = |\sin t| = \sqrt{\sin^2 t} = \sqrt{1 - \cos^2 t} = \sqrt{1 - u^2} = |v| = v
从而 \exp {\mathrm{i}t} = \cos t + \mathrm{i} \sin t = u + \mathrm{i}v 。
2. 若 u < 0, v > 0, u^2 + v^2 = 1 ，则存在 t \in (2\pi/4, 2\pi/2) 使 \exp {\mathrm{i}t} = u + \mathrm{i}v 。
设 U + \mathrm{i}V = -\mathrm{i} (u + \mathrm{i}v) = v - \mathrm{i}u 。则 U = v > 0, V = -u > 0, U^2 + V^2 = 1 。从而存在 s \in (0, 2\pi/4) 使 \exp {\mathrm{i}s} = U + \mathrm{i}V 。从而
u + \mathrm{i}v = \mathrm{i}(U + \mathrm{i}V) = \exp {\mathrm{i}\frac{2\pi}{4}} \cdot \exp {\mathrm{i}s} = \exp {\mathrm{i} \bigg( s + \frac{2\pi}{4} \bigg)}
令 t = s + 2\pi/4 。则 t \in (2\pi/4, 2\pi/2) ，且 \exp {\mathrm{i}t} = u + \mathrm{i} v 。
3. 0 + 1\mathrm{i} = \exp {\mathrm{i}\frac{2\pi}{4}} 。所以，若 v > 0 且 u^2 + v^2 = 1 ，必存在 t \in (0, 2\pi/2) 使 \exp {\mathrm{i}t} = u + \mathrm{i}v 。
4. 若 v < 0 且 u^2 + v^2 = 1 ，则存在 t \in (2\pi/2, 2\pi) 使 \exp {\mathrm{i}t} = u + \mathrm{i}v 。
设 U + \mathrm{i}V = - (u + \mathrm{i}v) = v - \mathrm{i}u 。则 V = -v > 0, U^2 + V^2 = 1 。从而存在 s \in (0, 2\pi/2) 使 \exp {\mathrm{i}s} = U + \mathrm{i}V 。从而
u + \mathrm{i}v = -(U + \mathrm{i}V) = \exp {\mathrm{i}\frac{2\pi}{2}} \cdot \exp {\mathrm{i}s} = \exp {\mathrm{i} \bigg( s + \frac{2\pi}{2} \bigg)}
令 t = s + 2\pi/2 。则 t \in (2\pi/2, 2\pi) ，且 \exp {\mathrm{i}t} = u + \mathrm{i} v 。
5. 还剩下 v = 0 的情形没说。不过，此时的情形很简单，因为 u 只能为 \pm 1 。 \exp {\mathrm{i}0} = 1 + 0\mathrm{i} 。 \exp {\mathrm{i}\frac{2\pi}{2}} = -1 + 0\mathrm{i} 。
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回想起我们引入过的记号
$$
\begin{aligned}
\text{$E_w$:} \quad
\mathbb{R} & \to \mathbb{C}, \\
x & \mapsto \exp {wx}
\end{aligned}
$$
因为 $\cos^2 + \sin^2 = 1$ ，故 $E_\mathrm{i} (\mathbb{R}) \subset U$ 。不过， $E_\mathrm{i} (\mathbb{R})$ 究竟是什么呢？设 $A = [0, 2\pi)$ 。我们将证明， $E_\mathrm{i} (A) = U$ 。换句话说，对单位圆上的任意一点 $z$ ，总可以找到 $[0, 2\pi)$ 的数 $t$ ，使 $E_\mathrm{i} (t) = \exp {\mathrm{i} t} = z$ 。因为 $2\pi$ 也是 $E_\mathrm{i}$ 的周期，故 $E_\mathrm{i} (\mathbb{R}) = U$ 。
我们拆此事为若干小问题来解决。
---
0\. 任取开区间 $(0, 1)$ 的数 $c$ ，必存在 $t \in (0, 2\pi/4)$ 使 $\cos t = c$ 。
考虑
$$
\begin{aligned}
\text{$f$:} \quad
[0, 2\pi/4] & \to \mathbb{R}, \\
x & \mapsto \cos {x} - c
\end{aligned}
$$
则 $f$ 为连续函数，且 $f(0) = 1 - c > 0$ ， $f(2\pi/4) = -c < 0$ 。从而存在 $t \in (0, 2\pi/4)$ 使 $f(t) = 0$ 。
1\. 若 $u > 0$, $v > 0$, $u^2 + v^2 = 1$ ，则存在 $t \in (0, 2\pi/4)$ 使 $\exp {\mathrm{i}t} = u + \mathrm{i}v$ 。
我们知道，存在 $t \in (0, 2\pi/4)$ 使 $\cos t = u$ 。所以
$$
\sin t = |\sin t| = \sqrt{\sin^2 t} = \sqrt{1 - \cos^2 t} = \sqrt{1 - u^2} = |v| = v
$$
从而 $\exp {\mathrm{i}t} = \cos t + \mathrm{i} \sin t = u + \mathrm{i}v$ 。
2\. 若 $u < 0$, $v > 0$, $u^2 + v^2 = 1$ ，则存在 $t \in (2\pi/4, 2\pi/2)$ 使 $\exp {\mathrm{i}t} = u + \mathrm{i}v$ 。
设 $U + \mathrm{i}V = -\mathrm{i} (u + \mathrm{i}v) = v - \mathrm{i}u$ 。则 $U = v > 0$, $V = -u > 0$, $U^2 + V^2 = 1$ 。从而存在 $s \in (0, 2\pi/4)$ 使 $\exp {\mathrm{i}s} = U + \mathrm{i}V$ 。从而
$$
u + \mathrm{i}v = \mathrm{i}(U + \mathrm{i}V) = \exp {\mathrm{i}\frac{2\pi}{4}} \cdot \exp {\mathrm{i}s} = \exp {\mathrm{i} \bigg( s + \frac{2\pi}{4} \bigg)}
$$
令 $t = s + 2\pi/4$ 。则 $t \in (2\pi/4, 2\pi/2)$ ，且 $\exp {\mathrm{i}t} = u + \mathrm{i} v$ 。
3\. $0 + 1\mathrm{i} = \exp {\mathrm{i}\frac{2\pi}{4}}$ 。所以，若 $v > 0$ 且 $u^2 + v^2 = 1$ ，必存在 $t \in (0, 2\pi/2)$ 使 $\exp {\mathrm{i}t} = u + \mathrm{i}v$ 。
4\. 若 $v < 0$ 且 $u^2 + v^2 = 1$ ，则存在 $t \in (2\pi/2, 2\pi)$ 使 $\exp {\mathrm{i}t} = u + \mathrm{i}v$ 。
设 $U + \mathrm{i}V = - (u + \mathrm{i}v) = v - \mathrm{i}u$ 。则 $V = -v > 0$, $U^2 + V^2 = 1$ 。从而存在 $s \in (0, 2\pi/2)$ 使 $\exp {\mathrm{i}s} = U + \mathrm{i}V$ 。从而
$$
u + \mathrm{i}v = -(U + \mathrm{i}V) = \exp {\mathrm{i}\frac{2\pi}{2}} \cdot \exp {\mathrm{i}s} = \exp {\mathrm{i} \bigg( s + \frac{2\pi}{2} \bigg)}
$$
令 $t = s + 2\pi/2$ 。则 $t \in (2\pi/2, 2\pi)$ ，且 $\exp {\mathrm{i}t} = u + \mathrm{i} v$ 。
5\. 还剩下 $v = 0$ 的情形没说。不过，此时的情形很简单，因为 $u$ 只能为 $\pm 1$ 。 $\exp {\mathrm{i}0} = 1 + 0\mathrm{i}$ 。 $\exp {\mathrm{i}\frac{2\pi}{2}} = -1 + 0\mathrm{i}$ 。
