\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!} = \frac 1 e
n為無窮大。
是否有人知道如何推導？
级数啊，我学数学二不考级数，但是能看出来∑ (-1)^k / k! 求和是 e^x 泰勒展开的形式
算极限第一步是判定敛散性，这个 k! >> (-1) ^k 显然收敛
打开AI，根据交错级数测试，如果一个交错级数的项的绝对值单调递减并且趋近于零，那么该级数收敛。
然后另x=-1 泰勒展开两边就是你给出的题目
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不太懂泰勒展開，但我準備去學一下…
- 自然常数 e 的定义：
自然常数 e 的定义是：e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}.
- 求 e^{-1} 的幂级数展开：
我们知道 e^{-x} 的幂级数展开形式是：e^{-x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-x)^k}{k!}.
令 x = 1，则有：e^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!}.
- 验证其收敛性：
由于 e^{-1} 是一个有限的常数，并且上面的级数是收敛的，我们可以将其部分和与极限进行比较。
- 部分和趋近于 e^{-1}：
观察序列的部分和：S_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.
根据级数的定义和幂级数展开的性质，当 n \to \infty 时，部分和 S_n 将趋近于级数的和，即：\lim_{n \to \infty} S_n = e^{-1}.
综上所述，当 n \to \infty 时：\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} = e^{-1}.
因为 e^{-1} = \frac{1}{e}，所以我们得到了：\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} = \frac{1}{e}.
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ai 这种公式怎么复制过来
论坛支持数学公式，让 AI 将公式使用 $ xxx $ 包裹起来就行了：
$LaTeX$
LaTeX
感謝大家的幫助！
現在我有以下疑問，當然我正在尋找答案中。
一，為何 e^x 的導數是它本身？
二，泰勒展開的原理。
三，麥克勞林公式的推理過程，
发给你一本高数教材？
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自学高数建议看托马斯微积分，有中文翻译版，比一众中文教材讲得细致。
国内的教材高中时候看过同济版和另一本忘了什么版本的教材，同济高数起码还能看懂，另一本可以说是不讲人话的典型。
顺便线性代数教材推荐线性代数及其应用和线性代数应该这样学，任何开头就将行列式的国产教材都是垃圾。
不用了，謝謝！我大學畢業之後，出於對數學的熱愛，同濟版高數教材一直留了好多年，都發黑了，最後還是扔了。
現在我只在遇到具體問題時去學一下，而且可以藉視頻動畫多媒體gpt來學，這樣會好玩很多，也沒有壓力。
感謝推薦。我目前只是現實中遇到了單個問題才要去搞明白，若未來我確實想搞懂更多的問題，我會首選你推薦的書。
最近正好也在复习数学
一、e^x 的导数可以由导数定义推出来：
{(e^x)}^{'}=\lim_{{\Delta x}\rightarrow 0}\frac{e^{x+\Delta x}-e^{x}}{\Delta x}=e^x\lim_{{\Delta x}\rightarrow 0}\frac{e^{\Delta x} -1}{\Delta x}=e^x
二、泰勒展开的目的就是用二项式近似一个平滑函数，而处理一个二项式要比处理一个奇形怪状的函数式简单很多了。
导数的意义是变化率，也就是说导数控制了函数的走向，如果找到一个二项式，它的各阶导数和这个函数各阶导数都一样时，不就代表这个二项式可以近似替代函数了吗（个人理解，有错误请纠正）。
所以一点处的泰勒展开就可以写成：
f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f^{'''}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+...
三、麦克劳林公式就是在 x=0 处的泰勒展开啊。
（以前学 C 语言的时候还用泰勒展开式写过三角函数的近似计算来着，教材上好像是有这种题目
）
我的問題是，在無法對 e ^x 求導的前提下，如何證明
\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1
下面是gemini的回覆：
在不使用 e^x 導數的先決知識的情況下，證明 \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1 有點棘手，因為 e 的定義與這個極限密切相關。 然而，我們可以透過依賴 e 的替代定義和一些性質來證明這一點，而我們假設這些性質已經建立。
以下是一個可能的證明，它依賴於 e 作為以下極限的定義：
定義： e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n
證明：
-
以 e 的定義開始。 我們知道：
e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n -
進行變數變換。 令 h = \frac{1}{n}。 當 n \to \infty 時， h \to 0。 我們可以將極限重寫為：
e = \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} -
操控方程式以匹配我們要證明的極限。
- 將方程式的兩邊都提高到 h 次方：
e^h = \lim_{h \to 0} (1 + h) - 從兩邊減去 1：
e^h - 1 = \lim_{h \to 0} h - 將兩邊都除以 h：
\frac{e^h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} 1
- 將方程式的兩邊都提高到 h 次方：
-
極限的結果。 由於 \lim_{h \to 0} 1 = 1，我們得到：
\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1
因此，我們在沒有明確使用 e^x 導數的情況下證明了極限。請注意，此證明依賴於 e 的特定定義及其性質。 如果我們使用 e 的不同定義，則證明將需要不同的方法。
gemini的回覆完畢。
我個人認為，在它的第3步，當左邊出現h時，也要加上 \lim_{h \to 0}，亦即：
\lim_{h \to 0}e^h = \lim_{h \to 0} (1 + h)